Theo giả thiết, ta có: \(ab+bc+ca+abc=4\)\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12=abc+2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8\)\(\Leftrightarrow\left(a+2\right)\left(b+2\right)+\left(b+2\right)\left(c+2\right)+\left(c+2\right)\left(a+2\right)=\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: \(P=\frac{4}{\left[\left(a+b\right)^2+4\right]+16}+\frac{4}{\left[\left(b+c\right)^2+4\right]+16}+\frac{4}{\left[\left(c+a\right)^2+4\right]+16}\)\(\le\frac{4}{4\left(a+b\right)+16}+\frac{4}{4\left(b+c\right)+16}+\frac{4}{4\left(c+a\right)+16}\)\(=\frac{1}{\left(a+2\right)+\left(b+2\right)}+\frac{1}{\left(b+2\right)+\left(c+2\right)}+\frac{1}{\left(c+2\right)+\left(a+2\right)}\)\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\right)=\frac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Bài làm

Gọi a là số đĩa nhiều nhất

Vì : \(60⋮a\)

       \(72⋮a\)

Nên : a = \(ƯCLN\left(60;72\right)\)và a là số lớn nhất

\(60=2^2.3.5\)

\(72=2^3.3^2\)

\(ƯCLN\left(60;72\right)=2^2.3=12\)

Vậy chia nhiều nhất thành 12 đĩa

Số quả quýt :   \(60:12=5quả\)

Số quả mận :    \(72:12=6quả\)

Học Tốt !

Ta có:

 1!2!3!...100! = 1¹⁰⁰.2⁹⁹.3⁹⁸...100¹

Gỉa sử ta xóa đi số n!(n là stn khác 0,n=< 100)

Ta có n!= 1.2.3..n

Khi lấy  1¹⁰⁰.2⁹⁹.3⁹⁸...100¹ - n! sẽ có ít nhất 1 lũy thừa có số mũ lẻ => 1¹⁰⁰.2⁹⁹.3⁹⁸...100¹ - n! ko là SCP.

Vậy ko thể xoá đi thừa số nào trong tích 1!2!3!...100! để tích của 99 số còn lại là số chính phương

\(1!.2!.3!.....100!=2^{99}.3^{98}.4^{97}.....100\)

\(=\left(2^{49}.3^{49}.4^{47}.5^{47}.....98^1.99^1\right)^2.2.4.6.8.....100\)

\(=\left(2^{49}.3^{49}.4^{47}.5^{47}.....98^1.99^1\right).2^{50}\left(1.2.3.4.....50\right)\)

\(=\left(2^{74}.3^{49}.....98.99\right)^2.50!\)

Vậy ta có thể xóa đi thừa số \(50!\)để tích còn lại là số chính phương.