Giả sử a <0

Vì abc>0 nên bc <0

Có ab+bc+ca>0

<=>a(b+c)>-bc

Vì bc<0=>-bc>0

=>a(b+c)>0

Mà a<0 nên b+c<0

=> a+b+c<0

Mà theo đề a+b+c>0

=> điều giả sử sai

=> điều pk chứng minh

Giả sử ba số aa, bb, cc không đồng thời là các số dương thì có ít nhất một số không dương.

Không mất tính tổng quát, ta giả sử a ≤ 0 

 Nếu a = 0a = 0 thì abc = 0abc = 0 (mâu thuẫn với giả thiết abc>0abc > 0)

 Nếu a < 0a < 0 thì từ abc > 0 \Rightarrow bc < 0abc > 0⇒ bc < 0.

Ta có ab + bc + ca > 0 \Leftrightarrow a(b + c) > -bc \Rightarrow a(b+c) > 0 \Rightarrow b + c < 0 \Rightarrow a + b + c < 0ab + bc + ca > 0 ⇔ a(b+c) > − bc ⇒ a(b+c) > 0 ⇒ b + c < 0 ⇒ a + b + c < 0 (mâu thuẫn với giả thiết)

Vậy cả ba số aa, bb và cc đều dương.

Tham khảo:

Gỉa sử : a+b+c> 1/a + 1/b + 1/c nhưng không thỏa mãn một và chỉ một trong 3 số a,b,c lớn hơn 1

*TH1:Cả 3 số a,b,c đều lớn hơn 1 hoặc đều nhỏ hơn 1 suy ra mâu thẫn( vì abc=1)

*TH2: có 2 số lớn hơn 1

Gỉa sử: a>1, b>1, c<1 <=> a-1>0 , b-1>0 , c-1<0

=> (a-1)(b-1)(c-1)<0 

=>abc+a+b+c-(ab+bc+ca)-1<0

<=>a+b+c<ab+bc+ca 

<=>a+b+c<abc/c+abc/a+abc/b 

Thay abc=1 ta được:

a+b+c<1/a+1/b+1/c(mâu thuẫn với giả thuyết nên điều giả sử sai)

=>đpcm

 Trường hợp 1: Giả sử ba số aa, bb, cc đều lớn hơn 11 hoặc ba số aa, bb, cc đều nhỏ hơn 11.

Khi đó a.b.c \ne 1
 a.b.c ≠ 1 (trái với giả thiết).

 Trường hợp 2: Giả sử hai trong ba số aa, bb, cc lớn hơn 1.

Không mất tính tổng quát, giả sử a > 1a > 1 và b > 1b > 1.

Vì a.b.c = 1a.b.c = 1 nên c < 1c < 1 do đó:

     (a - 1).(b -1).(c - 1) < 0(a − 1).(b − 1).(c − 1) < 0

\Leftrightarrow abc + a+b+c - ab - ac - ca - 1 < 0⇔ abc + a + b + c − ab − ac − ca − 1 < 0

\Leftrightarrow a+b+c - ab - ac - ca  < 0⇔ a + b + c − ab − ac − ca < 0

\Leftrightarrow a+b+c < ab + ac + ca ⇔ a + b + c < ab + ac + ca 

⇔ a + b + c < \(\dfrac{abc}{c}\) + \(\dfrac{abc}{a}\) + \(\dfrac{abc}{b}\)

⇔ a + b + c < \(\dfrac{1}{c}\) + \(\dfrac{1}{a}\) + \(\dfrac{1}{b}\) (mâu thuẫn với giả thiết)

Vậy chỉ có một và chỉ một trong ba số aa, bb, cc lớn hơn 11

Xét tam giác ABC không phải tam giác đều

Nếu không có góc nào nhỏ hơn 60 độ thì ta có : 

\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}\ge60^0+60^0+60^0\ge180^0\)

dấu bằng chỉ xảy ra khi cả ba góc bằng 60 độ mâu thuẫn với giả thiết ABC không phải tam giác đều

vậy phải có ít nhất một góc nhỏ hơn 60 độ

Xét tam giác ABCABC không phải tam giác đều.

Không mất tính tổng quát, có thể giả sử \(\widehat{A}\) ≥ \(\widehat{B}\) ≥ \(\widehat{C}\)   

Vì tam giác ABC không phải là tam giác đều nên \(\widehat{A}\) > \(\widehat{C}\)

Giả sử \(\widehat{C}\) ≥ 60^o thì \(\widehat{A}\) + \(\widehat{B}\) + \(\widehat{C}\) > 180^o vô lý)

Do đó \(\widehat{C}\) < 60^o nên một tam giác không phải là tam giác đều thì có ít nhất một góc nhọn nhỏ hơn 60^o

\widehat{A} \ge \widehat{B} \ge \widehat{C}

Ta có n² = n.n

mà n² chẵn => n.n chẵn 

=> n.n ⋮2

=> có ít nhất 1 số chia hết cho 2 

 mà n = n  => n ⋮2

=> n chẵn (đpcm)

Ta có n² = n.n

mà n² chẵn 

=> n.n chẵn 

=> n.n ⋮⋮2

=> có ít nhất 1 số chia hết cho 2 

 mà n = n  => n ⋮⋮2 => n chẵn (đpcm)