a:Xét ΔABC có

BE,CF là các đường cao

BE cắt CF tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC tại D

Xét (O) có \(\widehat{AKB};\widehat{ACB}\) là các góc nội tiếp chắn cung AB

nên \(\widehat{AKB}=\widehat{ACB}\)

mà \(\widehat{ACB}=\widehat{AHE}\left(=90^0-\widehat{DAC}\right)\)

nên \(\widehat{AKB}=\widehat{AHE}\)

=>\(\widehat{AHK}=\widehat{AKH}\)

=>AK=AH

b: Xét tứ giác BFEC có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{FEC}+\widehat{FBC}=180^0\)

mà \(\widehat{CEF}+\widehat{AEF}=180^0\)

nên \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)

Gọi Ax là tiếp tuyến tại A của (O)

Xét (O) có

\(\widehat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

DO đó: \(\widehat{xAC}=\widehat{ABC}\)

=>\(\widehat{xAC}=\widehat{AEF}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên FE//Ax

mà Ax\(\perp\)OA

nên OA\(\perp\)EF

a.

\(\sqrt{x^2-4x+1}=x\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x^2-4x+1=x^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\-4x+1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{1}{4}\)

b.

\(\sqrt{5x^2-2x+2}=x+1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1\ge0\\5x^2-2x+2=\left(x+1\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\\4x^2-4x+1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\\x=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

c.

\(\sqrt{x^2-8x+16}=4-x\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(4-x\right)^2}=4-x\)

\(\Leftrightarrow\left|4-x\right|=4-x\)

\(\Leftrightarrow4-x\ge0\)

\(\Rightarrow x\le4\)

d.

\(\sqrt{3x+1}=\sqrt{4x-3}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x-3\ge0\\3x+1=4x-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{3}{4}\\x=4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=4\)

Bài 2:

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

\(sinC=\dfrac{AB}{BC}=>\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{3}{4}\\ =>AB=\dfrac{3}{4}BC=\dfrac{3}{4}\cdot10=\dfrac{15}{2}\left(cm\right)\) 

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ABC ta có:

\(AB^2+AC^2=BC^2\\ =>\left(\dfrac{15}{2}\right)^2+AC^2=10^2\\ =>AC=\sqrt{10^2-\left(\dfrac{15}{2}\right)^2}=\dfrac{5\sqrt{7}}{2}\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

\(AB^2=BC\cdot BH=>BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\left(\dfrac{15}{2}\right)^2:10=\dfrac{225}{40}\left(cm\right)\\ AC^2=BC\cdot CH=>CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\left(\dfrac{5\sqrt{7}}{2}\right)^2:10=\dfrac{175}{40}\left(cm\right)\)

Bài 9:

ΔABC vuông tại A

=>\(BC^2=AB^2+AC^2\)

=>\(BC=\sqrt{9^2+12^2}=15\left(cm\right)\)

ΔABC vuông tại A

=>\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\dfrac{1}{2}\cdot9\cdot12=54\left(cm^2\right)\)

Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}\)

=>\(\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{3}{7}\)

=>\(S_{ABD}=54\cdot\dfrac{3}{7}=\dfrac{162}{7}\left(cm^2\right)\)

\(VT=\left(1+\dfrac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right)\cdot\left(1-\dfrac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)\\ =\left[1+\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}+1}\right]\cdot\left[1-\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}-1}\right]\\ =\left(1+\sqrt{a}\right)\left(1-\sqrt{a}\right)\\ =1-\left(\sqrt{a}\right)^2\\ =1-a=VP\)

\(\sqrt{29+12\sqrt{5}}+\sqrt{29-12\sqrt{5}}\)

\(=\sqrt{20+2\cdot2\sqrt{5}\cdot3+9}+\sqrt{20-2\cdot2\sqrt{5}\cdot3+9}\)

\(=\sqrt{\left(2\sqrt{5}+3\right)^2}+\sqrt{\left(2\sqrt{5}-3\right)^2}\)

\(=2\sqrt{5}+3+2\sqrt{5}-3=4\sqrt{5}\)

`sqrt{29 + 12 sqrt{5}} + sqrt{29 - 12sqrt{5}}`

`= sqrt{20 + 2 . 2sqrt{5} . 3 + 9 } + sqrt{20 - 2 . 2sqrt{5} . 3 + 9}`

`= sqrt{(2sqrt{5})^2 + 2 . 2sqrt{5} . 3 + 3^2 } + sqrt{(2sqrt{5})^2 - 2 . 2sqrt{5} . 3 + 3^2}`

`= sqrt{(2sqrt{5} + 3)^2} + sqrt{(2sqrt{5} - 3)^2}`

`= |2sqrt{5} + 3| + |2sqrt{5} + 3|`

`= 2sqrt{5} + 3 + 2sqrt{5} - 3`

`= 4 sqrt{5}`

Gọi số học sinh nam của lớp đó là `a` (học sinh)

Số học sinh nữ của lớp đó là `b` (học sinh) 

ĐK: `0<a,b<43` và `a,b∈N` 

Số học sinh nam hơn số học sinh nữ là 3 hs nên ta có pt:

`a-b=3(1)` 

Số học sinh của lớp là 43 học sinh nên ta có pt:

`a+b=43(2) `

Từ (1) và (2) ta có hpt: \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=3\\a+b=43\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a=46\\b=a-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=23\\b=23-3=20\end{matrix}\right.\left(tm\right)\)

Vậy: ... 

A B C a b c H

Dựng \(BH\perp AC\left(H\in AC\right)\)

Xét tg vuông BHC có

\(BC^2=BH^2+CH^2\) (Pitago)

\(\Rightarrow a^2=BH^2+\left(AC-AH\right)^2=BH^2+AC^2+AH^2-2AC.AH=\)

\(=\left(BH^2+AH^2\right)+AC^2-2AC.AH\) (1)

Xét tg vuông AHB có

\(BH^2+AH^2=AB^2=c^2\)

\(AH=AB\cos A=c\cos A\)

Thay vào (1)

\(\Rightarrow a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)

sin a=0,3

=>\(a=arcsin\left(0,3\right)\simeq17^0\)

cos a=0,45

=>\(a=arccos\left(0,45\right)\simeq63^0\)

\(tana=2,5\)

=>\(a=arctan\left(2,5\right)\simeq68^0\)

Xét ΔAHB vuông tại H có \(tanBAH=\dfrac{BH}{AH}\)

=>\(BH=AH\cdot tanBAH=4\cdot tan28\simeq2,13\left(cm\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có

\(tanC=\dfrac{AH}{HC}\)

=>\(HC=\dfrac{AH}{tanC}=\dfrac{4}{tan40}\simeq4,77\left(cm\right)\)

ΔAHB vuông tại H

=>\(AH^2+HB^2=AB^2\)

=>\(AB=\sqrt{AH^2+HB^2}\simeq4,53\left(cm\right)\)

ΔAHC vuông tại H

=>\(AH^2+HC^2+AC^2\)

=>\(AC=\sqrt{AH^2+HC^2}\simeq6,23\left(cm\right)\)

Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{a+1}{1}\ne\dfrac{-a}{a}=-1\)

=>\(a+1\ne-1\)

=>\(a\ne-2\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a+1\right)x-ay=5\\x+ay=a^2+4a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+1\right)x-ay+x+ay=5+a^2+4a\\x+ay=a^2+4a\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\left(a+2\right)=a^2+4a+5\\ay=a^2+4a-x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{a^2+4a+5}{a+2}\\ay=a^2+4a-\dfrac{a^2+4a+5}{a+2}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{a^2+4a+5}{a+2}\\ay=\dfrac{\left(a+2\right)\left(a^2+4a\right)-a^2-4a-5}{a+2}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{a^2+4a+5}{a+2}\\y=\dfrac{a^3+4a^2+2a^2+8a-a^2-4a-5}{a\left(a+2\right)}=\dfrac{a^3+5a^2+4a-5}{a\left(a+2\right)}\end{matrix}\right.\)

Để x,y nguyên thì \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+4a+5⋮a+2\\a^3+5a^2+4a-5⋮a^2+2a\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+4a+4+1⋮a+2\\a^3+5a^2+4a-5⋮a^2+2a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1⋮a+2\\a^3+5a^2+4a-5⋮a^2+2a\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}a+2\in\left\{1;-1\right\}\\a^3+5a^2+4a-5⋮a^2+2a\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}a\in\left\{-1;-3\right\}\\a^3+5a^2+4a-5⋮a^2+2a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=-1\)