A = \(\dfrac{2}{1.3}\) + \(\dfrac{2}{3.5}\) + ... + \(\dfrac{2}{9.11}\)

A = \(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3}\) + \(\dfrac{1}{3}\) - \(\dfrac{1}{5}\) + ... + \(\dfrac{1}{9}\) - \(\dfrac{1}{11}\)

A =   \(\dfrac{1}{1}\) - \(\dfrac{1}{11}\) 

A = \(\dfrac{10}{11}\)

Để giải phép tính A=21⋅3+23⋅5+25⋅7+⋯+29⋅11A = \frac{2}{1 \cdot 3} + \frac{2}{3 \cdot 5} + \frac{2}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{2}{9 \cdot 11} dưới dạng siêu phức tạp, ta sẽ thực hiện các bước trung gian phức tạp và giải thích chi tiết từng phần của phép toán.

Ta có tổng sau:

A=21⋅3+23⋅5+25⋅7+⋯+29⋅11A = \frac{2}{1 \cdot 3} + \frac{2}{3 \cdot 5} + \frac{2}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{2}{9 \cdot 11}

Mỗi phần tử trong tổng là một phân số có mẫu số là tích của hai số lẻ liên tiếp. Tổng quát, ta có thể viết mỗi phần tử theo dạng:

2(2n−1)(2n+1)vớin=1,2,3,…,5.\frac{2}{(2n-1)(2n+1)} \quad \text{với} \quad n = 1, 2, 3, \dots, 5.

Vậy tổng có thể viết lại là:

A=∑n=152(2n−1)(2n+1)A = \sum_{n=1}^{5} \frac{2}{(2n-1)(2n+1)}

Ta sẽ đơn giản hóa từng phân số trong tổng. Dễ dàng nhận thấy rằng mỗi phân số có thể rút gọn bằng cách sử dụng phép phân tích thành phần phân số (phương pháp phân tích phân số thành phần nhỏ hơn).

2(2n−1)(2n+1)=A2n−1+B2n+1\frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}

Với mục đích tìm AA và BB, ta giải phương trình sau:

2(2n−1)(2n+1)=A2n−1+B2n+1\frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}

Nhân cả hai vế với (2n−1)(2n+1)(2n-1)(2n+1):

2=A(2n+1)+B(2n−1)2 = A(2n+1) + B(2n-1)

Mở rộng các biểu thức:

2=A(2n)+A+B(2n)−B2 = A(2n) + A + B(2n) - B

Nhóm các hạng tử theo nn:

2=(2n)(A+B)+(A−B)2 = (2n)(A + B) + (A - B)

Vì phương trình này phải đúng với mọi giá trị của nn, ta có hệ phương trình:

A+B=0A + B = 0 A−B=2A - B = 2

Giải hệ này:

A=1vaˋB=−1A = 1 \quad \text{và} \quad B = -1

Vậy ta có:

2(2n−1)(2n+1)=12n−1−12n+1\frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}

Ta thay vào biểu thức tổng ban đầu:

A=∑n=15(12n−1−12n+1)A = \sum_{n=1}^{5} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)

Viết cụ thể từng phần tử:

A=(11−13)+(13−15)+(15−17)+(17−19)+(19−111)A = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{9} \right) + \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{11} \right)

Quan sát rằng tổng này là một chuỗi lũy tiến mà trong đó các hạng tử sẽ hủy bỏ lẫn nhau. Cụ thể:

A=1−111A = 1 - \frac{1}{11}

Vậy:

A=1111−111=1011A = \frac{11}{11} - \frac{1}{11} = \frac{10}{11}

Do đó, kết quả của phép tính AA là:

A=1011A = \frac{10}{11}

           (2n - 1) ⋮ (6 - n)

[-2(6 - n) + 11] ⋮ (6 - n)

                  11 ⋮ (6 - n)

  (6 - n) \(\in\) Ư(11) = {-11; -1; 1; 11}

Theo bảng trên ta có: n \(\in\) { 17; 7; 5; -5}

Vậy n \(\in\) {17; 7; 5; -5}

(2n - 1) ⋮ (6 - n) (1)

Ta có:

(6 - n) ⋮ (6 - n)

=> 2. (6 - n) ⋮ (6 - n)

=> (12 - 2n) ⋮ (6 - n) (2)

Từ (1) và (2)

=> (2n - 1) + (12 - 2n) ⋮ (6 - n)

=> 2n - 1 + 12 - 2n ⋮ (6 - n)

=> 11 ⋮ (6 - n)

=> (6 - n) ϵ Ư (11) = {1; 11; -1; -11}

Ta có bảng sau:

Vậy n ϵ {5; -5; 7; 17}

2\(xy\) + \(x+2y\) = 4

(2\(xy\) + 2y) + (\(x\) + 1) =5

2y(\(x+1\)) + (\(x+1\))  =5

  (\(x+1\))(2y + 1) = 5

5 = 5; Ư(5)  = {-5; -1; 1; 5}

lập bảng ta có:

Theo bảng trên ta có (\(x;y\))  =(-6; -1); (-2; -3); (0; 2); (4; 0)

Vậy các cặp \(x;y\) nguyên thỏa mãn đề bài là: (-6; -1);(-2; -3); (0; 2); (4; 0)

(2n  - 3)⋮ (n  +1) ( -1 ≠ n; n \(\in\) Z)

[2(n  + 1) - 5] ⋮ (n + 1)

                 5 ⋮ (n  + 1)

   (n + 1) \(\in\) Ư(5) = {-5; -1; 1; 5}

Lập bảng ta có: 

Theo bảng trên ta có n \(\in\) {-6; -2; 0; 4}

Vậy n \(\in\) {-6; -2; 0; 4} 

 ta có :2n-3 ⋮ n+1

    suy ra : 2(n+1)-5 ⋮ n+1 | giải thích :2n-3=2(n+1)-5=2n+2-5→2-5=-3

       mà n+1 ⋮ n+1

        nên  2.n+1 ⋮ n+1

       suy ra : -5 ⋮ n+1

        do đó : n+1 ϵ ư(-5)={-1;1;-5;5}

          ...

2.\(3^{x+5}\) = 54 

  \(3^{x+5}\) = 54 : 2

  3\(^{x+5}\) = 27

  3\(^{x+5}\) = \(3^3\)

   \(x+5\) = 3

   \(x\) = 3 - 5

   \(x=-2\)

Vậy \(x=-2\) 

Chu vi hình thoi là:

`5 . 4 = 20 (cm)`

Diện tích hình thoi là:

`1/2 . 6 . 8 = 24 (cm^2)`

   (3\(x\) + 2) ⋮ (2\(x\) - 1) 

2(3\(x\) + 2) ⋮ (2\(x\) - 1)

[3.(2\(x\) - 1) + 7]⋮ (2\(x\) - 1)

                    7 ⋮ (2\(x\) - 1)

    (2\(x\) - 1) \(\in\) Ư(7) = {-7; -1; 1; 7}

Lập bảng ta có:

Theo bảng trên ta có \(x\) \(\in\) {-3; 0; 1; 4}

Vậy \(x\) {-3; 0; 1; 4}

( 3x + 2 ) ⋮ ( 2x - 1 )

⇒ 2.( 3x + 2 ) ⋮ ( 2x - 1 )

⇒ 6x + 4 ⋮ ( 2x - 1 )

⇒ 3.( 2x - 1 ) - 7 ⋮ ( 2x - 1 )

   Vì 3.( 2x - 1 ) ⋮ ( 2x - 1 )

        nên 7 ⋮ ( 2x - 1 )

⇒ ( 2x - 1 ) \(\in\) Ư(7)

    ( 2x - 1 ) \(\in\) { - 1 ; 1 ; - 7 ; 7 }

       2x        \(\in\) { 0 ; 2 ; - 6 ; 8 }

         x        \(\in\) { 0 ; 1 ; - 3 ; 4 }

Đây là toán nâng cao chuyên đề tìm số dư, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng đẳng thức đồng dư như sau:

                                       Giải:

a; Tìm số dư của phép chia 3¹⁰⁰ cho 7

           \(3^{100}\) = \(\left(3^6\right)^{16}\).3⁴ = \(729^{16}\).81

          729 \(\equiv\) 1 (mod 7)

           \(729^{16}\) \(\equiv\) \(1^{16}\) (mod 7)

           \(729^{16}\) \(\equiv\) 1 (mod 7)

           81 \(\equiv\) 4 (mod 7)

     ⇒ \(729^{16}\).81 \(\equiv\) 1.4 (mod 7) 

     ⇒\(729^{16}.81\equiv4\) (mod 7) 

Vậy A chia 7 dư 4 

Ý của bạn là gì với hoạt động trải nghiệm?

A = 20  + 21  +22 + 23 + 24 + 25+ ..+ 2100

Xét dãy số: 20; 21; 22; 23;...;24;...; 2100

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là:  21 - 20 = 1

Số số hạng của dãy số trên là: (2100 - 20) : 1 + 1 = 2081 (số)

Vì  2081 : 3 = 693 dư 2 nên nhóm 3 số hạng của A vào nhau ta được:

A = 20 + 21 + (22 + 23 + 24) + (25 + 26  +27) +...+(2098+2099+2100)

Vì tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3 nên số dư của A khi chia cho 3 là số dư của 20 + 21 khi chia cho 3

20 + 21 = 41; 41 : 3  = 13 dư 2

Vậy số  dư của phép chia A cho 3 là 2