ta có bài toán đúng với n=1

giả sử đúng với n=k

xét n=k+1:

\(29^{2\left(k+1\right)}-140\left(k+1\right)-1\)

\(=841.29^{2k}-140k-141=700.29^{2k}+141.\left(29^{2k}-140k-1\right)+19600k\)

mà \(\hept{\begin{cases}700.29^{2k}⋮700\\140\left(29^{2k}-140k-1\right)⋮700\\19600⋮700\end{cases}}\)bài toán đúng với n=k+1

Vậy theo nguyên lý quy nạp ta chứng minh được bài toán

d/ \(x^3-x^2-x-5=\left(x+4\right)\sqrt{x+2}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^3+2\left(x-1\right)^2+2\left(x-1\right)=\left(x+2+2\right)\sqrt{x+2}+2\left(x+2\right)\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}x-1=a\\\sqrt{x+2}=b\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a^3+2a^2+2a=b^3+2b^2+2b\)

\(\Leftrightarrow a=b\)

Làm nốt

Ta có:

bpt \(\Leftrightarrow x+1\ge\sqrt{2\left(x^2-x+1\right)}-\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\ge2\left(x^2-x+1\right)+x-2\sqrt{2x\left(x^2-x+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{2x\left(x^2-x+1\right)}\ge x^2+x+1\)

Áp dụng bđt Cosi ta có:

\(VT\le2x+x^2-x+1=x^2+x+1\)

Dấu '=' xảy ra khi \(2x=x^2-x+1\Leftrightarrow x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)

Xét phương trình: \(x^2-2x+3=x+7\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=4\\x=-1\end{cases}}\)

Suy ra \(d\) cắt \(\left(P\right)\) tại hai điểm \(A\left(4;11\right)\) và \(B\left(-1;6\right)\)

Giả sử \(M\left(x_0;y_0\right)\) thay đổi trên cung AB của \(\left(P\right)\). Dễ thấy \(x_0\in[-1;4]\)

Vì \(M\in\left(P\right)\) nên \(M\left(x_0;x_0^2-2x_0+3\right)\)

Ta có \(d\left(M,AB\right)=d\left(M,d\right)=\frac{\left|x_0-\left(x_0^2-2x_0+3\right)+7\right|}{\sqrt{2}}=\frac{\left|-x_0^2+3x_0+4\right|}{\sqrt{2}}=f\left(x_0\right)\)

Chú ý rằng \(x_0\in[-1;4]\), suy ra \(d\left(M,AB\right)=f\left(x_0\right)\le f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{25\sqrt{2}}{8}\)

Khi đó \(S_{MAB}=\frac{1}{2}d\left(M,AB\right).AB\le\frac{1}{2}.\frac{25\sqrt{2}}{8}.\sqrt{\left(-1-4\right)^2+\left(6-11\right)^2}=\frac{125}{8}\)

Đạt được khi \(M\left(\frac{3}{2};\frac{9}{4}\right).\)