a) \(\Delta'=\left(m-2\right)^2-\left(-3m+10\right)=m^2-m-6\)

Để phương trình có 2 nghiệm thì \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le-2\\m\ge3\end{matrix}\right.\) (1)

Theo hệ thức Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4-2m\\x_1x_2=-3m+10\end{matrix}\right.\)

Để phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ đều nhỏ hơn 2 \(\left(x_1\le x_2< 2\right)\) thì:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1-2\right)+\left(x_2-2\right)< 0\\\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2< 4\\x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)+4>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4-2m< 4\\-3m+10-2\left(4-2m\right)+4>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2m< 0\\m+6>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\m>-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m>0\)

Kết hợp với điều kiện (1), ta được: \(m\ge3\)

\(Toru\)

x² -(2m+1)x+2m=0 (a=1; b = -(2m+1); c= 2m)
Δ= b²- 4ac= [-(2m+1)]²-4.1.2m= 4m² +4m+1-8m =4m²-4m+1

= (2m-1)²

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi (2m-1)²>0

<=> 2m-1 >0 <=> m > 1/2

Vậy: với m>1/2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
Vì với m>1/2 thì phương trình có hai nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét, ta có:
x₁+x₂= -b/a= 2m+1
x₁.x₂= c/a = 2m
Ta có: 

a: Xét tứ giác AHKM có \(\widehat{AHM}=\widehat{AKM}=90^0\)

nên AHKM là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

ΔMAN nội tiếp

MN là đường kính

Do đó: ΔMAN vuông tại A

Xét (O) có

\(\widehat{ABM}\) là góc nội tiếp chắn cung AM

\(\widehat{ANM}\) là góc nội tiếp chắn cung AM

Do đó: \(\widehat{ABM}=\widehat{ANM}\)

Xét ΔHBA vuông tại H và ΔANM vuông tại A có

\(\widehat{HBA}=\widehat{ANM}\)

Do đó: ΔHBA~ΔANM

c: Xét ΔHAB vuông tại H và ΔKMA vuông tại K có

\(\widehat{HAB}=\widehat{KMA}\)(ΔHBA~ΔANM)

Do đó: ΔHAB~ΔKMA

=>\(\dfrac{AH}{MK}=\dfrac{HB}{AK}\)

=>\(AH\cdot AK=MK\cdot HB\)

\(\text{Δ}=\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4\left(m^2-3m\right)\)

\(=4m^2-8m+4-4m^2+12m=4m+4\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 4m+4>0

=>m>-1

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m-1\right)=2m-2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m^2-3m\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}=4\)

=>\(\dfrac{x_1^2+x_2^2}{\left(x_1x_2\right)^2}=4\)

=>\(\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{\left(x_1x_2\right)^2}=4\)

=>\(\left(2m-2\right)^2-2\left(m^2-3m\right)=4\left(m^2-3m\right)^2\)

=>\(4m^2-8m+4-2m^2+6m=4\left(m^2-3m\right)^2\)

=>\(2m^2-2m+4=4\left(m^2-3m\right)^2\)

=>\(2\left(m^4-6m^2+9\right)=m^2-m+2\)

=>\(2m^4-12m^2+18-m^2+m-2=0\)

=>\(2m^4-13m^2+m+16=0\)

=>\(m\in\left\{-2,27;-1,21;1,37;2,12\right\}\)