Cho  \(x,y,z\) là ba số dương thỏa mãn điều kiện    \(x+y+z\ge6\) . 

Tìm  GTNN của biểu thức

       \(S=\dfrac{x^2+y^2}{x+y}+\dfrac{y^2+z^2}{y+z}+\dfrac{z^2+x^2}{z+x}\).

Cho \(x,y,z\) là ba số dương thỏa mãn điều kiện

    \(\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{y}+\dfrac{4}{z}\le12\).

Tìm GTLN của biểu thức  \(S=\dfrac{1}{x+z}+\dfrac{2}{y+x}+\dfrac{3}{z+y}\).

Cho \(x,y,z\) là ba số dương thỏa mãn điều kiện  \(x+y+z\le6\).

Tìm  GTNN của biểu thức        \(P=\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{9}{z}\).

Cho  \(x,y,z\)  là ba số dương thỏa mãn điều kiên   \(x+y+z\le6\). Tìm GTLN cuả biểu thức

  \(S=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}\).

Cho \(x,y,z\) là ba số dương thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện 

    \(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}+\dfrac{1}{1+z}=2\) .

Tìm GTLN của tích  \(P=xyz\).

Cho  \(x,y,z\) là ba số dương thỏa mãn điều kiện  \(x+y+z\le\dfrac{3}{2}\) . Tìm GTNN của biểu thức

   \(P=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{y^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{z^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{x^2}}\).

Cho  \(x,y>0\)  thỏa mãn điều kiện   \(x+y\le1\) . Tìm GTNN của biểu thức    \(P=xy+\dfrac{1}{xy}\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số  \(f\left(x\right)=x+\dfrac{1}{x^2}\) với  \(x\ge2\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(f\left(x\right)=x+\dfrac{1}{x}\) với  \(x\ge3\).

(Hải Phòng)

1) Cho \(x,y>0\), chứng minh rằng   \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\).

2) Cho \(a,b,c\) là ba số dương thỏa mãn điều kiện   \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=16\). Chứng minh rằng

 \(\frac{1}{3a+2b+c}+\frac{1}{a+3b+2c}+\frac{1}{2a+b+3c}\le\frac{8}{3}\).