a) Tam giác AKB vuông tại K có đường cao KM nên \(AK^2=AM.AB\)

Chứng minh tương tự, ta có \(AK^2=AN.AC\)

Từ đó suy ra \(AM.AB=AN.AC\) (đpcm)

b) Tam giác KMN vuông tại K nên \(KM^2+KN^2=MN^2\)

Dễ thấy tứ giác AMKN là hình chữ nhật, suy ra \(AK=MN\). Từ đó \(KM^2+KN^2=AK^2\).

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AK nên \(AK^2=KB.KC\)

Thế thì \(KM^2+KN^2=KB.KC\) (đpcm)

c) Tam giác AKB vuông tại K, có đường cao KM nên \(AM.BM=KM^2\)

 Tương tự, ta có \(AN.CN=KN^2\)

 Từ đó \(AM.BM+AN.CN=KM^2+KN^2\)

Theo câu b), \(KM^2+KN^2=KB.KC\)

Do đó \(AM.BM+AN.CN=KB.KC\) (đpcm)

Gọi M là giao điểm của PE với AB.

Ta thấy rằng \(CF=AF=PE,PF=AE=EB\)

Đồng thời \(\widehat{BEP}=60^o-\widehat{AEP}=60^o-\widehat{AFP}=\widehat{PFC}\)

Dẫn đến \(\Delta PBE=\Delta CPF\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow PB=PC\)        (1)

Mặt khác, \(\widehat{AMF}=\widehat{MAE}=60^o=\widehat{ACF}\) nên tứ giác AMCF nội tiếp.

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{PFC}\). Mà lại có \(AB=PF,AC=FC\) nên suy ra \(\Delta ABC=\Delta FPC\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow PC=BC\)               (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\Delta PBC\) đều (đpcm)

\(S=\sqrt[]{1.2007}+\sqrt[]{3.2005}+\sqrt[]{5.2003}+...+\sqrt[]{2007.1}\)

Tổng số hạng của S là :

\(\left(2007-1\right):2+1=1004\left(số,hạng\right)\)

Áp dụng bất đảng Cauchy cho 1004 cặp số \(\left(1;2007\right);\left(3;2005\right);\left(5;2003\right)...\left(2007;1\right)\)

\(\sqrt[]{1.2007}< \dfrac{1+2007}{2}=\dfrac{2008}{2}\)

\(\sqrt[]{3.2005}< \dfrac{3+2005}{2}=\dfrac{2008}{2}\)

\(\sqrt[]{5.2003}< \dfrac{5+2003}{2}=\dfrac{2008}{2}\)

\(.....\)

\(\sqrt[]{2007.1}< \dfrac{2007+1}{2}=\dfrac{2008}{2}\)

\(\Rightarrow S=\sqrt[]{1.2007}+\sqrt[]{3.2005}+\sqrt[]{5.2003}+...+\sqrt[]{2007.1}< 1004.\dfrac{2008}{2}=1004^2\)

Vậy \(S< 1004^2\)

Đính chính

... Bất đẳng thức Cauchy...

a) \(M=\left(\dfrac{3}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{x+9}{x-9}\right):\left(\dfrac{2\sqrt{x}-5}{x-3\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)\)

\(=\dfrac{3.\left(\sqrt{x}-3\right)+x+9}{\left(\sqrt{x}-3\right).\left(\sqrt{x}+3\right)}:\dfrac{2\sqrt{x}-5-\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\dfrac{x+3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right).\left(\sqrt{x}+3\right)}:\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right).\left(\sqrt{x}+3\right)}.\dfrac{\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{x}{\sqrt{x}-2}\)

b) \(M< 0\Leftrightarrow\sqrt{x}-2< 0\Leftrightarrow x< 4\)

Kết hợp điều kiện ta được \(0< x< 4\) thì M < 0

c) Từ câu b ta có M < 0 \(\Leftrightarrow0< x< 4\)

nên \(x\inℤ\) để M nguyên âm <=> \(x\in\left\{1;2;3\right\}\)

Thay lần lượt các giá trị vào M được x = 1 thỏa 

d) \(M=\dfrac{x}{\sqrt{x}-2}=\sqrt{x}+2+\dfrac{4}{\sqrt{x}-2}=\left(\sqrt{x}-2+\dfrac{4}{\sqrt{x}-2}\right)+4\)

Vì x > 4 nên \(\sqrt{x}-2>0\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có 

\(M=\left(\sqrt{x}-2+\dfrac{4}{\sqrt{x}-2}\right)+4\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}-2\right).\dfrac{4}{\sqrt{x}-2}}+4=8\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{x}-2=\dfrac{4}{\sqrt{x}-2}\Leftrightarrow x=16\left(tm\right)\)

1) \(M=\left(\dfrac{3}{\sqrt[]{x}+3}+\dfrac{x+9}{x-9}\right):\left(\dfrac{2\sqrt[]{x}-5}{x-3\sqrt[]{x}}-\dfrac{1}{\sqrt[]{x}}\right)\left(x>0;x\ne9\right)\)

\(\Leftrightarrow M=\left(\dfrac{3\left(\sqrt[]{x}-3\right)}{\left(\sqrt[]{x}+3\right)\left(\sqrt[]{x}-3\right)}+\dfrac{x+9}{x-9}\right):\left(\dfrac{2\sqrt[]{x}-5}{\sqrt[]{x}\left(\sqrt[]{x}-3\right)}-\dfrac{1}{\sqrt[]{x}}\right)\)

\(\Leftrightarrow M=\left(\dfrac{3\sqrt[]{x}-9+x+9}{x-9}\right):\left(\dfrac{2\sqrt[]{x}-5-\left(\sqrt[]{x}-3\right)}{\sqrt[]{x}\left(\sqrt[]{x}-3\right)}\right)\)

\(\Leftrightarrow M=\left(\dfrac{3\sqrt[]{x}+x}{x-9}\right):\left(\dfrac{2\sqrt[]{x}-5-\sqrt[]{x}+3}{\sqrt[]{x}\left(\sqrt[]{x}-3\right)}\right)\)

\(\Leftrightarrow M=\left(\dfrac{\sqrt[]{x}\left(\sqrt[]{x}+3\right)}{x-9}\right):\left(\dfrac{\sqrt[]{x}-2}{\sqrt[]{x}\left(\sqrt[]{x}-3\right)}\right)\)

\(\Leftrightarrow M=\left(\dfrac{\sqrt[]{x}}{\sqrt[]{x}-3}\right):\left(\dfrac{\sqrt[]{x}-2}{\sqrt[]{x}\left(\sqrt[]{x}-3\right)}\right)\)

\(\Leftrightarrow M=\dfrac{\sqrt[]{x}}{\sqrt[]{x}-3}.\dfrac{\sqrt[]{x}\left(\sqrt[]{x}-3\right)}{\sqrt[]{x}-2}\)

\(\Leftrightarrow M=\dfrac{x}{\sqrt[]{x}-2}\)

2) Để \(M< 0\) khi và chỉ chi

\(M=\dfrac{x}{\sqrt[]{x}-2}< 0\left(1\right)\)

Nghiệm của tử là \(x=0\)

Nghiệm của mẫu \(\sqrt[]{x}-2=0\Leftrightarrow\sqrt[]{x}=2\Leftrightarrow x=4\)

Lập bảng xét dấu... ta được

\(\left(1\right)\Leftrightarrow0< x< 4\)

\(A=\dfrac{\sqrt[]{x}+2}{\sqrt[]{x}+1}\left(x\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{\sqrt[]{x}+1+1}{\sqrt[]{x}+1}\)

\(\Leftrightarrow A=1+\dfrac{1}{\sqrt[]{x}+1}\)

Ta lại có :

\(\sqrt[]{x}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[]{x}+1\ge1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt[]{x}+1}\le1\)

\(\Rightarrow A=1+\dfrac{1}{\sqrt[]{x}+1}\le1+1=2\)

\(\Rightarrow dpcm\)

Thay A(4,1) bạn nhé.

Thay A(0,1) vào hàm số y ta có: 

\(\left(m-3\right).4+3m-1=1\Leftrightarrow4m-12+3m-1=0\)

\(\Leftrightarrow7m-13=0\Leftrightarrow7m=13\Leftrightarrow m=\dfrac{13}{7}\)

a) \(3x4^{x+1}-5.4^x=448\)

\(\Leftrightarrow4^x\left(3x4-5\right)=448\)

\(\Leftrightarrow4^x.7=448\)

\(\Leftrightarrow4^x=64=4^3\)

\(\Leftrightarrow x=3\)

b) \(5.\left(x-2\right)^3=4^3+71\left(x>1\right)\)

\(\Leftrightarrow5.\left(x-2\right)^3=64+71\)

\(\Leftrightarrow5.\left(x-2\right)^3=135\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^3=27=3^3\)

\(\Leftrightarrow x-2=3\)

\(\Leftrightarrow x=5\)

a) \(5^{3n+2}=25^{n+3}\)

\(\Leftrightarrow5^{3n+2}=5^{2\left(n+3\right)}\)

\(\Leftrightarrow3n+2=2\left(n+3\right)\)

\(\Leftrightarrow3n+2=2n+6\)

\(\Leftrightarrow n=4\)

b) \(6.5^{n-2}+10^2=2.5^3\left(n>1\right)\)

\(\Leftrightarrow6.5^{n-2}=2.5^3-10^2\)

\(\Leftrightarrow6.5^{n-2}=2.5^3-2^2.5^2\)

\(\Leftrightarrow6.5^{n-2}=2.5^2\left(5-2\right)\)

\(\Leftrightarrow6.5^{n-2}=2.5^2.3\)

\(\Leftrightarrow5^{n-2}=5^2\)

\(\Leftrightarrow n-2=2\)

\(\Leftrightarrow n=4\)

Tập hợp A là các số chính phương có 2 chữ số

\(A=\left\{16;25;36;49;64;81\right\}\)

Tập hợp B là các số chia 4 dư 1 :

\(B=\left\{25;49;81\right\}\)

\(\sqrt{\sqrt[]{\dfrac{ }{ }}}\)

Ta có:

\(64=2^6=2^{2\cdot3}=\left(2^2\right)^3=4^3\)

⇒ Chọn B 

\(64=4.4.4=4^3\Rightarrow B\)

Loại \(A\) và \(D\) vì \(4^{16}>4^{3}=64\) và \(8^{8}=(2^{3})^{8}=2^{24}=4^{12}>4^{3}=64\); \(3^{4}=3.3.3.3=81>64\) (loại)