Cho số tự nhiên A thỏa mãn nếu đổi chỗ các chữ số của A thì được số B gấp 3 lần số A. Chứng minh rằng B chia hết cho 27
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
$\tan B=\frac{CD}{CB}$
$\tan A=\frac{CD}{AC}$
$\Rightarrow CD=CB.\tan B=AC.\tan C$
$\Leftrightarrow CB.\tan 50^0=AC.\tan 40^0=(CB+1)\tan 40^0$
$\Rightarrow CB(\tan 50^0-\tan 40^0)=\tan 40^0$
$\Rightarrow CB=\frac{\tan 40^0}{\tan 50^0-\tan 40^0}=2,38$ (cm)
$CD=CB\tan B=2,38.\tan 50^0=2,84$ (cm)
Trong tam giác vuông BCD:
\(cot50^0=\dfrac{BC}{CD}\) (1)
Trong tam giác vuông ACD:
\(cot40^0=\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{BC+1}{CD}\) (2)
Trừ vế (2) cho (1):
\(\dfrac{BC+1}{CD}-\dfrac{BC}{CD}=cot40^0-cot50^0\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{CD}=cot40^0-cot50^0\)
\(\Rightarrow CD=\dfrac{1}{cot40^0-cot50^0}\approx2,84\left(km\right)\)
ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x>7\\y>-6\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{\sqrt{x-7}}=u>0\\\dfrac{1}{\sqrt{y+6}}=v>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}7u-4v=\dfrac{5}{3}\\5u+3v=\dfrac{13}{6}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}21u-12v=5\\20u+12v=\dfrac{26}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=\dfrac{79}{123}\\v=\dfrac{29}{41}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-7}=\dfrac{123}{79}\\\sqrt{y+6}=\dfrac{41}{29}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\left(\dfrac{123}{79}\right)^2+7=...\\y=\left(\dfrac{41}{29}\right)^2-6=...\end{matrix}\right.\)
ĐKXĐ: x > 7; y > -6
Đặt a= \(\dfrac{1}{\sqrt{x-7}}\); b= \(\dfrac{1}{\sqrt{y+6}}\)
ta được pt: \(\left\{{}\begin{matrix}7a-4b=\dfrac{5}{3}\\5a+3b=2\dfrac{1}{6}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}21a-12b=5\\20a+12b=\dfrac{26}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}41a=\dfrac{41}{3}\\7a-4b=\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{3}\\b=\dfrac{1}{6}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{\sqrt{x-7}}=\dfrac{1}{3}\\\dfrac{1}{\sqrt{y+6}}=\dfrac{1}{6}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-7}=3\\\sqrt{y+6}=6\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-7=9\\y+6=36\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=30\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=30\end{matrix}\right.\)
ĐKXĐ: \(x\ge-3;y\ge-1\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+3}=u\ge0\\\sqrt{y+1}=v\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u-2v=2\\2u+v=4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=2v+2\\2\left(2v+2\right)+v=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=2v+2\\5v=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=2\\v=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+3}=2\\\sqrt{y+1}=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-1\end{matrix}\right.\)
Đầu kiện: \(x\ge0;y\ge0\)
\(\left\{{}\begin{matrix}3\sqrt{x}+2\sqrt{y}=6\\\sqrt{x}-\sqrt{y}=4,5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\sqrt{x}+2\sqrt{y}=6\\3\sqrt{x}-3\sqrt{y}=13,5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\sqrt{x}+2\sqrt{y}=6\\3\sqrt{x}-3\sqrt{x}+2\sqrt{y}-(-3\sqrt{y})=6-13,5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\sqrt{x}+2\sqrt{y}=6\\5\sqrt{y}=-7,5\end{matrix}\right.\)
Vì \(5\sqrt{y}\ge0\Rightarrow5\sqrt{y}=-7,5< 0\Rightarrow5\sqrt{y}=-7,5\)vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm
ĐKXĐ: \(x\ge0;y\ge0\)
\(\left\{{}\begin{matrix}3\sqrt{x}+2\sqrt{y}=6\\\sqrt{x}-\sqrt{y}=4,5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\left(\sqrt{y}+4,5\right)+2\sqrt{y}=6\\\sqrt{x}=\sqrt{y}+4,5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5\sqrt{y}=-7,5\\\sqrt{x}=\sqrt{y}+4,5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{y}=-1,5< 0\left(ktm\right)\\\sqrt{x}=\sqrt{y}+4,5\end{matrix}\right.\)
Vậy hệ đã cho vô nghiệm
ĐKXĐ: \(x\ge0;y\ge0\)
\(\left\{{}\begin{matrix}3\sqrt{x}-\sqrt{y}=5\\2\sqrt{x}+3\sqrt{y}=18\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{y}=3\sqrt{x}-5\\2\sqrt{x}+3\left(3\sqrt{x}-5\right)=18\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{y}=3\sqrt{x}-5\\11\sqrt{x}=33\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{y}=3\sqrt{x}-5\\\sqrt{x}=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=3\\\sqrt{y}=4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=9\\y=16\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+y^2=5\\x^2-3y^2=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\left(3y^2+1\right)+y^2=5\\x^2=3y^2+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}10y^2=2\\x^2=3y^2+1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y^2=\dfrac{1}{5}\\x^2=\dfrac{8}{5}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{5}}\\y=\pm\dfrac{2\sqrt{10}}{5}\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}2x^2+3y^2=36\\3x^2+7y^2=37\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x^2+9y^2=108\\6x^2+14y^2=74\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x^2+9y^2=108\\6x^2-6x^2+9y^2-14y^2=108-74\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x^2+9y^2=108\\-5y^2=34\end{matrix}\right.\)
Vì \(-5y^2=34\Rightarrow y^2=\dfrac{34}{-5}< 0\) vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm
\(\left\{{}\begin{matrix}2x^2+3y^2=36\\3x^2+7y^2=37\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x^2+9y^2=108\\6x^2+14y^2=74\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x^2+9y^2=108\\5y^2=-34\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x^2+9y^2=108\\y^2=-\dfrac{34}{5}< 0\left(vô-lý\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy hệ pt vô nghiệm
Giả sử số đó có n chữ số thì số đó có dạng\(\overline{a_1a_2...a_n}=10^{n-1}a_1+10^{n-2}a_2+...10a_{n-1}+a_n\) với \(a_n>a_1\)
và đảo ngược của nó là \(\overline{a_na_{n-1}...a_1}=10^{n-1}a_n+10^{n-2}a_{n-1}+...+10a_2+a_1\)
Như vậy ta có \(\overline{a_na_{n-1}...a_1}-\overline{a_1a_2...a_n}\) \(=\left(10^{n-1}-1\right)a_n+\left(10^{n-2}-10\right)a_{n-1}+...+\left(1-10^{n-1}\right)a_1\)
Ta nhận thấy các biểu thức dạng \(\pm10^k\mp10^l\left(l\le k\right)\) luôn chia hết cho 9 vì có tổng các chữ số chia hết cho 9
Ta rút ra kết luận: Một số gồm \(n\ge2\) chữ số mà có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số thứ \(n\) thì lấy số có nghịch đảo các chữ số của nó trừ đi chính nó sẽ được một số chia hết cho 9.
Như vậy theo đề bài, ta có \(\left\{{}\begin{matrix}B=3A\\B-A=9k\left(k\inℕ^∗\right)\end{matrix}\right.\)
Từ pt đầu tiên, ta có \(A=\dfrac{B}{3}\). Thay vào pt thứ 2, ta có \(B-\dfrac{B}{3}=9k\Leftrightarrow\dfrac{2B}{3}=9k\Leftrightarrow B=\dfrac{27}{2}k\) (*)
Đồng thời \(B=3A\) nên \(3A-A=9k\Leftrightarrow2A=9k\Leftrightarrow A=\dfrac{9k}{2}\), do A là số tự nhiên nên \(\dfrac{9k}{2}\) là số tự nhiên hay \(9k⋮2\) hay \(k⋮2\). Đặt \(k=2l\left(l\inℕ^∗\right)\), thay vào (*), ta có \(B=27l⋮27\) (đpcm)