Cho tam giác $A B C$. Gọi $M$ là trung điểm của $A B$ và $N$ là một điểm trên cạnh $A C$ sao cho $N A=2 N C$. Gọi $K$ là trung điểm $M N$. Phân tích vectơ $\overrightarrow{A K}$ theo $\overrightarrow{A B}$ và $\overrightarrow{A C}$.

Điểm $M$ gọi là chia đoạn thā̉ng $A B$ theo ti số $k \neq 1$ nếu $M A=k M B$. Chứng minh rā̀ng với mọi điểm $O$ ta có $\overrightarrow{O M}=\dfrac{\overrightarrow{O A}-k \overrightarrow{O B}}{1-k}$.

Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $A B C$. Hāy biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{A B} ; \overrightarrow{B C} ; \overrightarrow{G C} ; \overrightarrow{C A}$ theo $\vec{a}=\overrightarrow{G A}, \vec{b}=\overrightarrow{G B}$.

trong mặt phẳng với hệ tọa độ  Oxy, cho tam giác ABC có A(4;3), B(2-1) và C(-4;1)

a)Viết phương trình đương cao AH của tam giác ABC 

b)VIết phương trình đường thẳng d, biết d đi qua điểm A và cắt tia Ox,Oy thứ tự tại M và N sao cho tam giác OMN có diện tích nhỏ nhất.

Cho tứ giác $A B C D$. Gọi hai điểm $M$ và $N$ theo thứ tự là trung điêm của các đoạn $A D, B C$.

a) Chứng minh rằng $\overrightarrow{M N}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{D C})=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{D B})$.

b) Gọi $I$ là trung điểm của $M N$. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I B}+\overrightarrow{I C}+\overrightarrow{I D}=\overrightarrow{0}$.

Cho \(x,y,z\)là các số dương thỏa mãn \(xyz=1\). Chứng minh: \(x^2y+y^2z+z^2x\ge xy+yz+zx\).

Cho hình bình hành $A B C D$ tâm $O . \mathrm{M}$ là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng a) $\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{0}$ b) $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{0}$ c) $\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M C}=\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M D}$

Cho hình vuông $A B C D$ có tâm là $O$ và cạnh $a . M$ là một điểm bất kỳ. a) Tính $|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}|,|\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{C B}|,|\overrightarrow{C D}-\overrightarrow{D A}|$ b) Chứng minh rằng $\vec{u}=\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}-\overrightarrow{M C}-\overrightarrow{M D}$ không phụ thuộc vị trí điểm $M$. Tính độ dài vectơ $u$

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $A B C=30^{\circ}$ và $B C=a \sqrt{5}$.
Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}, \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B C}$ và $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}$.