Đề:Cho m,n là các số nguyên dương với \(n>1\).Đặt \(P=m^2n^2-4m+4n\)

Chứng minh rằng nếu P là số chính phương thì m=n

Giả sử \(m>n>1\)

 Xét \(\left(mn^2-2\right)^2-n^2\left(m^2n^2-4m+4n\right)\)

\(=m^2n^4-4mn^2+4-mn^4+4mn^2-4n^3\)

\(=-4n^3+4< 0\) với  \(\forall n>1\)

\(\Rightarrow\left(mn^2-2\right)^2< n^2\left(m^2n^2-4n+4n\right)\left(1\right)\)

Xét \(n^2\left(m^2n^2-4m+4n\right)-m^2n^4\)

\(=m^2n^4-4mn^2+4n^3-m^2n^4\)

\(=-4mn^2+4n^3\)

\(=-4n^2\left(m-n\right)< 0\) với \(\forall m>n>1\)

\(\Rightarrow n^2\left(m^2n^2-4m+4n\right)< m^2n^4\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\left(mn^2-2\right)^2< n^2\left(m^2n^2-4m+4n\right)< m^2n^4\)

\(\Rightarrow\left(\frac{mn^2-2}{n}\right)^2< P< \left(mn\right)^2\)

Xét \(\frac{mn^2-2}{n}-\left(mn-1\right)=\frac{n-2}{n}\ge0\)  với \(\forall n\ge2\)

\(\Rightarrow\frac{mn^2-2}{n}\ge mn-1\)

\(\Rightarrow\left(mn-1\right)^2< P< \left(mn\right)^2\left(VL\right)\)

Kẹp giữa 2 số chính phương liên tiếp thì không tồn tại số chính phương nào.OK?

Giả sử \(m< n\)

\(\Rightarrow P>m^2n^2\left(3\right)\)

Xét \(m^2n^2-4m+4n-\left(mn+2\right)^2\)

\(=m^2n^2-4m+4n-m^2n^2-4mn-4\)

\(=n-m-mn-1=n\left(1-m\right)-m-1< 0\) 

\(\Rightarrow P< \left(mn+2\right)^2\left(4\right)\)

Từ \(\left(3\right);\left(4\right)\Rightarrow\left(mn\right)^2< P< \left(mn+2\right)^2\)

Để P là số chính phương thì \(P=\left(mn+1\right)^2\)

\(\Rightarrow m^2n^2-4m+4n=m^2n^2+2mn+1\)

\(\Rightarrow-4m+4n-2mn=1\) quá VL

Với  \(m=n\Rightarrow P=m^2n^2=\left(mn\right)^2\left(Lscp\right)\) cực kỳ HL:v

P/S:Ko chắc đâu nha.m thử làm bài 1 cấy.t cụng ra rồi nhưng coi cách m cho nó chắc:v Định dùng cách kẹp khác mà đề cho chặt quá:((

Chứng minh rằng:

a) A=1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/2010^2<1

b) B=1/2+2/2^2+3/2^3+...+100/2^100<2

c) C=1/3+2/3^2+3/3^3+...+100/3^100<3/4

d) D=1/2^3+1/3^3+1/4^3+...+1/n^3<1/4 (n€ N;n> hoặc = 3)

e) E=1/3^3+1/4^3+1/5^3+...+1/n^3<1/12 (n€N; n> hoặc = 3)

f) F=2/1*4/3*6/5*...*200/199<20

g) G=3/4+5/36+7/144+...+2n+1/n^2*(n+1)^2<1 (n nguyên dương)

h) H=1/2*(1/6+1/24+1/60+...+1/9240)>57/462

i) I=1/31+1/32+1/33+...+1/2048>3

j) J=(1-1/3)*(1-1/6)*(1-1/10)*...*(1-1/253)<2/5

k) K=1/2!+2/3!+3/4!+...+n-1/n! (n€N;n> hoặc = 2)

l) L=1/2!+5/3!+11/4!+...+n^2+n-1/(n+1)!<2

m) 1/6M=1/5^2+1/6^2+1/7^2+...+1/100^2<1/4