3 chấm xuống dòng

Ta có :

\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow ad< ac\Leftrightarrow ab+ad< ab+bc\Leftrightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\)\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\left(1\right)\)

\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow bc>ad\Leftrightarrow bc+cd>ad+cd\)\(\Leftrightarrow c\left(b+d\right)>d\left(a+c\right)\Leftrightarrow\frac{c}{d}>\frac{a+c}{b+d}\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)+\left(2\right)\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)

\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\left(1\right).\)Nhân 2 vế của (1) với bd ta có:

\(\frac{a}{b}\times bd=ad< \frac{c}{d}\times bd=bc\)( đpcm )

ad < bc ( 2 ).Chia 2 vế của (2) cho bd ta có:

\(\frac{ad}{bd}=\frac{a}{b}< \frac{bc}{bd}=\frac{c}{d}\left(Đpcm\right)\)

Vì b>0; d>0 nên b+d>0

Ta có: a/b<c/d =>ad<bc(*)

Thêm ab vào 2 vế (*) ,  ta có:

ab+ad<ba+bc

a(b+d)<b(a+c)

=>a/b<a+c/b+d(1)

Thêm cd vào 2 vế (*), ta được:

ad+cd<cb+cd

(a+c)d<c(b+d)

=>a+c/b+d<c/d(2)

Từ 1,2 =>a/b<a+c/b+d<c/d (b,d<0)

ta có 

a\b < c\d 

ad<bc

ad + ab < bc+ab

a( d + b) < b( c+a)  

a\b< a+c\b+ d (1)

a\b < c\d 

ad < bc 

ad + cd < bc + cd

d ( a+c) < c( b+ d )

a+c\b+d < c\d (2)

từ (1) và (2) suy ra 

a\b < a+c\b+d < c\d