Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:

$a^{2014}+\underbrace{1+1+....+1}_{2013}\geq 2014\sqrt[2014]{a^{2014}}$

$\Leftrightarrow a^{2014}+2013\geq 2014a$

$\Rightarrow a^{2014}+2014> 2014a$

$\Rightarrow a^{2014}> 2014(a-1)$ (đpcm)

Chia cả tử và mẫu của mỗi phân số tương ứng cho b²⁰¹⁵; b²⁰¹⁴

=> cần chứng minh: \(\frac{\left(\frac{a}{b}\right)^{2015}-1}{\left(\frac{a}{b}\right)^{2015}+1}>\frac{\left(\frac{a}{b}\right)^{2014}-1}{\left(\frac{a}{b}\right)^{2014}+1}\)

Ta có: \(VT=\frac{\left(\frac{a}{b}\right)^{2015}-1}{\left(\frac{a}{b}\right)^{2015}+1}=\frac{\left(\frac{a}{b}\right)^{2015}+1}{\left(\frac{a}{b}\right)^{2015}+1}-\frac{2}{\left(\frac{a}{b}\right)^{2015}+1}=1-\frac{2}{\left(\frac{a}{b}\right)^{2015}+1}\)

\(VP=\frac{\left(\frac{a}{b}\right)^{2014}-1}{\left(\frac{a}{b}\right)^{2014}+1}=\frac{\left(\frac{a}{b}\right)^{2014}+1}{\left(\frac{a}{b}\right)^{2014}+1}-\frac{2}{\left(\frac{a}{b}\right)^{2014}+1}=1-\frac{2}{\left(\frac{a}{b}\right)^{2014}+1}\)

Vì a> b > 0 => a/b  > 1. Do đó:

\(\left(\frac{a}{b}\right)^{2015}+1>\left(\frac{a}{b}\right)^{2014}+1\)

=> \(\frac{2}{\left(\frac{a}{b}\right)^{2015}+1}<\frac{2}{\left(\frac{a}{b}\right)^{2014}+1}\Rightarrow1-\frac{2}{\left(\frac{a}{b}\right)^{2015}+1}>1-\frac{2}{\left(\frac{a}{b}\right)^{2014}+1}\)

=> VT > VP 

Quy đồng mẫu số và biến đổi ta được 9a^2-6a+1>=0

(3a-1)^2>=0 (đúng) =>bđt đúng

`sqrta+1>sqrt{a+1}`

`<=>a+2sqrta+1>a+1`

`<=>2sqrta>0`

`<=>sqrta>0AAa>0`

`sqrt{a-1}<sqrta`

`<=>a-1<a`

`<=>-1<0` luôn đúng

`sqrt6-1>sqrt3-sqrt2`

`<=>sqrt6-sqrt3+sqrt2-1>0`

`<=>sqrt3(sqrt2-1)+sqrt2-1>0`

`<=>(sqrt2-1)(sqrt3+1)>0` luôn đúng