mình ko biết

cách của TĐT là cách nào ko thấy sao bik

lấy mẫu trừ đi (ax+by+cz)^2

Ta có \(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}=0\Leftrightarrow ayz+bzx+cxy=0\).

Do đó: \(ax^2+by^2+cz^2=\left(ax+by+cz\right)\left(x+y+z\right)-axy-axz-byz-byx-czx-czy=0-xy\left(a+b\right)-yz\left(b+c\right)-zx\left(c+a\right)=0+xyc+yza+zxb=0\).

Lời giải:

Từ \(ax+by+cz=0\Rightarrow (ax+by+cz)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2=-2(axby+axcz+bycz)\)

\(=-2(bcyz+cazx+abxy)\)

Khi đó:

\(bc(y-z)^2+ca(z-x)^2+ab(x-y)^2=bc(y^2-2yz+z^2)+ca(z^2-2zx+x^2)+ab(x^2-2xy+y^2)\)

\(=(bcy^2+bcz^2+caz^2+cax^2+abx^2+aby^2)-(2bcyz+2cazx+2abxy)\)

\(=(bcy^2+bcz^2+caz^2+cax^2+abx^2+aby^2)+(a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2)\)

\(=ax^2(a+b+c)+by^2(a+b+c)+cz^2(a+b+c)=(a+b+c)(ax^2+by^2+cz^2)\)

Do đó:

\(\frac{ax^2+by^2+cz^2}{bc(y-z)^2+ca(z-x)^2+ab(x-y)^2}=\frac{ax^2+by^2+cz^2}{(ax^2+by^2+c^2)(a+b+c)}=\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{\frac{1}{2019}}=2019\)

Ta có đpcm.

Rồng Con: bạn ghép nhóm thì nó ra thế á.

\(bcy^2+bcz^2+caz^2+cax^2+abx^2+aby^2+a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2\)

\(=(bcy^2+aby^2+b^2y^2)+(bcz^2+caz^2+c^2z^2)+(cax^2+abx^2+a^2x^2)\)

\(=by^2(c+a+b)+cz^2(b+a+c)+ax^2(c+b+a)\)

\(=(a+b+c)(ax^2+by^2+cz^2)\)

Ý tưởng là bạn tìm những cái có cùng $ax^2,by^2,cz^2$ để nhóm với nhau, cuối cùng ra 1 biểu thức có chứa $ax^2+by^2+cz^2$ liên quan đến tử để triệt tiêu ^^