Cách khác (xét theo mod 8): Giả sử tồn tại 2 số nguyên x, y thỏa mãn \(7x^2-24y^2=41\) 

\(\Leftrightarrow7x^2-24y^2=48-7\)

\(\Leftrightarrow7\left(x^2+1\right)=24\left(y^2+2\right)\) (*)

 Do \(\left(7,24\right)=1\) nên từ (*), ta có \(x^2+1⋮24\) \(\Rightarrow x^2+1⋮8\)

 Từ đó x phải là số lẻ. Nhưng nếu như vậy thì \(x^2\equiv1\left[8\right]\) dẫn đến \(x^2+1\equiv2\left[8\right]\), vô lí.

 Vậy điều giả sử là sai \(\Rightarrow\) pt đã cho không có nghiệm nguyên.

Lời giải:

$7x^2-24y^2=41$

$\Rightarrow 7x^2=41+24y^2\equiv 41\equiv 2\pmod 3(1)$
Nếu $x$ nguyên thì $x^2$ là scp. Ta biết 1 scp khi chia 3 dư $0,1$

$\Rightarrow x^2\equiv 0,1\pmod 3$

$\Rightarrow 7x^2\equiv 0, 7\equiv 0,1\pmod 3$
Nghĩa là $7x^2$ chia 3 dư $0$ hoặc $1$ (2)

$(1); (2)$ mâu thuẫn nhau nên pt không có nghiệm nguyên.

7\(x^2\) - 24y² = 41

Nếu \(x\) ⋮ 3 ⇒ 7\(x^2\) - 24y² ⋮ 3 ⇒ 41 ⋮ 3 (vô lý loại)

Nếu \(x\) không chia hết cho 3

⇒ \(x^2\) = 3k + 1(theo tính chất của số chính phương số chính phương chia 3 chỉ có thể dư 1 hoặc không dư)

Thay \(x^2\) = 3k + 1 vào biểu thức 7\(x^2\) - 24y² ta có: 

    7.(3k + 1) - 24y² = 41

⇒ 21k + 7 - 24y² = 41

    21k - 24y² = 41 - 7

    3.(7k - 8y²) = 34 ⇒ 34 ⋮ 3 (vô lý loại)

Vậy không có giá trị nguyên nào của \(x\) thỏa mãn phương trình hay phương trình đã cho không có nghiệm nguyên (đpcm)

Lời giải:

Giả sử pt đã có nghiệm nguyên.
Ta biết rằng 1 số chính phương khi chia 4 dư $0,1$

Mà $x^2+y^2+z^2=2015\equiv 3\pmod 4$ nên $(x^2,y^2,z^2)$ chia $4$ dư $1,1,1$. Do đó $x,y,z$ đều lẻ.

Đặt $x=2m+1; y=2n+1, z=2p+1$ với $m,n,p$ nguyên

$x^2+y^2+z^2=2015$

$\Leftrightarrow (2m+1)^2+(2n+1)^2+(2p+1)^2=2015$

$\Leftrightarrow 4m(m+1)+4n(n+1)+4p(p+1)=2012$

$\Leftrightarrow m(m+1)+n(n+1)+p(p+1)=503$

Điều này vô lý vì mỗi số $m(m+1), n(n+1), p(p+1)$ đều chẵn.

Vậy điều giả sử sai, hay pt đã cho không có nghiệm nguyên.

Dễ thấy VP chia hết chi 11 nên VT cũng phải chia hết cho 11

\(\Rightarrow1999y⋮11\)

\(\Rightarrow y⋮11\)

Mà vì y nguyên dương nên 

\(\Rightarrow y\ge11\)

\(\Rightarrow1999y\ge11.1999\left(1\right)\)

Bên cạnh đó ta lại có x nguyên dương nên

\(\Rightarrow11x>0\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow11x+1999y>11.1999\)

Vậy bài toán không có nghiệm nguyên dương.

Dễ thấy \(VP⋮11\Rightarrow VT\)cũng chia hết cho 11

\(\Rightarrow1999y⋮11\)

\(\Rightarrow y\)cũng phải chia hết cho 11

Mà y là số dương nên: \(11\le y\)

\(\Rightarrow1999y=11.1999\) (1)

Mà bên cạnh đó, lại có x là số dương ,nên: 11x > 0  (2)

Từ (1) và (2),ta suy ra: \(11x+1999y>11,1999\)

Vậy bài toán không có nghiệm nguyên dương

tk nha 

là sao