Ta chứng minh \(2^2+4^2+...+\left(2n\right)^2=\frac{2n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{3}\)  (1)  

với mọi n \(\in\)N* , bằng phương pháp quy nạp 

Với n = 1, ta có \(2^2=4=\frac{2.1\left(1+1\right)\left(2.1+1\right)}{3}\)

=> (1) đúng khi n = 1 

Giả sử đã có (1) đúng khi n = k , k\(\in\)N* , tức là giả sử đã có : 

\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{3}\)

Ta chứng minh (1) đúng khi n = k + 1 , tức là ta sẽ chứng minh 

\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2+\left(2k+2\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{3}\)

=> Từ giả thiết quy nạp ta có : 

\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2+\left(2k+2\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{3}+\left(2k+2\right)^2\)

                                                                    \(=\frac{2\left(k+1\right)\left(2k^2+k+6k+6\right)}{3}\)

                                                                    \(=\frac{2\left(k+1\right)\left[2k\left(k+2\right)+3\left(k+2\right)\right]}{3}\)

                                                                    \(=\frac{2\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{3}\)

Từ các chứng minh trên , suy ra (1) đúng với mọi n \(\in\)N*                                             

ai quan tam lam chi

Mọi người tk mình đi mình đang bị âm nè!!!!!!

Ai tk mình mình tk lại nha !!!

Tôi cũng là của FC Real Madrid ở Hà Nam.

Chúng mình kết bạn nhé.hihi.

với n = 1 có : ( 1 + 1 ) chia hết cho 2

giả sử, với n = k thì ( k + 1 ) ( k + 2 ) ... 2k \(⋮\)2^k

cần chứng minh đúng với n = k + 1

tức là ( k + 1 + 1 ) ( k + 1 + 2 ) ... 2 (k + 1 ) \(⋮\)2^k+1

Ta có : ( k + 1 + 1 ) ( k + 1 + 2 ) ... 2 (k + 1 ) = ( k + 2 ) ( k + 3 ) ... 2k .2 ( k + 1 )

= 2 ( k + 1 ) ( k + 2 ) ... 2k \(⋮\)2.2^k = 2^k+1

vậy ta có đpcm

6^(2n) +19^n-2^n+1 = 36^n + 19^n - 2^n +1 
với n = 1 thì 36^n + 19^n - 2^n +1 ko chia hết cho 17 
36 chia 17 dư 2 => 36^n chia 17 dư 2^n 
19 chia 17 dư 2 => 19^n chia 17 dư 2^n 
=> 36^n + 19^n - 2^n +1 chia 17 dư 2^n +1 
vậy 36^n + 19^n - 2^n +1 chưa chắc đã chia hết cho 17 với mọi n 
xem lại đề đi bạn 
c) 16^n-15n-1 chia hết cho 225 
n = 1 và n = 2 thì 16^n-15n-1 chia hết cho 225 
giả sử điều trên đúng với n = k 
ta cần chứng minh điều đó đúng với n = k+1 
tức là với n = k+1 thì 16^(k+1)-15(k+1)-1 chia hết cho 225 
thật vậy: 
16^(k+1)-15(k+1) -1 = 16.16^k -16.15k - 16 + 15.15k = 16(16^k - 15k -1) + 225.k 
ta có: 16^k-15k-1 chia hết cho 225 mà 225k chia hết cho 225 
=>16^(k+1)-15(k+1)-1 chia hết cho 225 
đpcm

LYOKO
THE MOST

Với \(n=1\)thì \(7^3+8^3=343+512=855=57.15\)chia hết cho 57

Giả sử \(7^{k+2}+8^{k+2}\)chia hết cho 57

Xét \(7^{k+3}+8^{2k+3}=7^{k+2}.7+8^{2k+1}.8^2\)

\(=7\left(7^{k+2}+8^{2k+1}\right)+57.8^{2k+1}\)chia hết cho 57

Mệnh đề đúng với n=1 vì số 111 chia hết cho 3

Bài này áp dụng các quy tắc của MODUL các cách giải khác sẽ khá phức tạp nên nếu bạn chưa học về MODUL thì bạn cũng nên tự nghiên cứu nha :)) Giờ giải thoi :))

\(7^{n+2}+8^{2n+1}=7^2.7^n+8.8^{2n}=49.7^n+8\left(8^2\right)^n=49.7^n+8.64^n\)

Vì \(64\equiv7\left(mod57\right)\)nên \(64^n\equiv7^n\left(mod57\right)\)

\(\Rightarrow49.7^n+64^n\equiv49.7^n+8.7^n\left(mod57\right)\)

Mà \(49.7^n+8.7^n=57.7^n\equiv0\left(mod57\right)\) hay \(57.7^n⋮57\)

\(\Rightarrow7^{n+2}+8^{2n+1}⋮57\)