Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
bđt \(\Leftrightarrow\)\(\Sigma_{cyc}\frac{a^2}{2}+\Sigma_{cyc}\frac{a}{bc}\ge\frac{9}{2}\)
mặt khác: \(\Sigma_{cyc}\frac{a}{bc}=\frac{1}{2}\Sigma_{cyc}\left(\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}\)\(\Rightarrow\)\(\Sigma_{cyc}\frac{a}{bc}\ge\Sigma_{cyc}\frac{1}{a}\)
do đó cần CM: \(\Sigma_{cyc}\frac{a^2}{2}+\Sigma_{cyc}\frac{1}{a}\ge\frac{9}{2}\) (1)
\(VT_{\left(1\right)}=\Sigma_{cyc}\left(\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}\right)\ge3.\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\)
"=" \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)
a.
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
(luôn đúng)
b. Áp dụng BĐT \(x^2+y^2\ge2xy\)
\(a^2+b^2\ge2ab,a^2+1\ge2a,b^2+1\ge2b\)\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+1\right)\ge2\left(ab+a+b\right)\Leftrightarrow a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
c. Tương tự câu b
Áp dụng BĐT Cô si ta có
i. \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}},\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{2}{\sqrt{bc}},\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{2}{\sqrt{ca}}\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge2\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\right)\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\)
k. Tương tự câu i
\(3=ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\le1\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{abc+a^2\left(b+c\right)}+\frac{1}{abc+b^2\left(c+a\right)}+\frac{1}{abc+c^2\left(a+b\right)}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{a\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{1}{b\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{1}{c\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{ab+bc+ca}{3abc}=\frac{1}{abc}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Lời giải:
a)
Ta có:
\(ab-\frac{a^2+b^2}{2}=\frac{2ab-(a^2+b^2)}{2}=-\frac{a^2+b^2-2ab}{2}=-\frac{(a-b)^2}{2}\leq 0, \forall a,b\in\mathbb{R}\)
\(\Rightarrow ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}\) (đpcm)
b) Ta có:
\(ab-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{4ab-(a+b)^2}{4}=-\frac{a^2+b^2-2ab}{4}=-\frac{(a-b)^2}{4}\leq 0, \forall a,b\in\mathbb{R}\)
\(\Rightarrow ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\) (đpcm)
c) Sửa đề: Lớn hơn hoặc bằng $(\geq)$ chứ không phải lớn hơn nha.
Ta có:
\((a+b+c)^2-3(ab+bc+ac)=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\)
\(=\frac{2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac}{2}=\frac{(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)}{2}\)
\(=\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}\geq 0, \forall a,b,c\in\mathbb{R}\)
\(\Rightarrow (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\) (đpcm)
Dấu "=" của cả 3 phần xảy ra khi các biển bằng nhau.