\(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cosx=\frac{1}{2}\left(1+cosx\right)=\frac{1}{2}\left(1+2cos^2\frac{x}{2}-1\right)=cos^2\frac{x}{2}\)

Do \(0< x< \frac{\pi}{2}\Rightarrow cos\frac{x}{k}>0\) \(\forall k\) nguyên dương

\(\Rightarrow A=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cosx}}}\)

\(A=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos\frac{x}{2}}}\)

\(A=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos\frac{x}{4}}\)

\(A=cos\frac{x}{8}\)

\(\Rightarrow\) Với \(n=\pm8\) thì đẳng thức luôn đúng

Bài 1:

\(A=\left(1+sinx\right)\left(1-sinx\right)tan^2x=\left(1-sin^2x\right).\frac{sin^2x}{cos^2x}=cos^2x.\frac{sin^2x}{cos^2x}=cos^2x\)

\(B=cot^2x-sin^2x.cot^2x+1-cot^2x=1-sin^2x.\frac{cos^2x}{sin^2x}=1-cos^2x=sin^2x\)

\(C=tan^2x+2+\frac{1}{tan^2x}-\left(tan^2x-2+\frac{1}{tan^2x}\right)=2+2=4\)

Bài 2:

Đề yêu cầu tính giá trị lượng giác nào bạn? sin?cos?tan?cot?

Không hỏi thì làm sao mà biết cần tính gì

tính giá trị lượng giác còn lại của góc \(\alpha\)

\(A=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cosa}}}\)

\(=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(2cos^2\frac{a}{2}-1\right)}}}\)

\(=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+cos^2\frac{a}{2}-\frac{1}{2}}}}\)

\(=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos\frac{a}{2}}}\)

\(=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(2cos^2\frac{a}{4}-1\right)}}\)

\(=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos\frac{a}{4}}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(cos^2\frac{a}{8}-1\right)}\)

\(=cos\frac{a}{8}\Rightarrow n=8\)

\(sina\sqrt{1+\frac{sin^2a}{cos^2a}}=sina\sqrt{\frac{cos^2a+sin^2a}{cos^2a}}=\frac{sina}{\left|cosa\right|}=\pm tana\)

\(\frac{1-cos^2x}{1-sin^2x}+tanx.cotx=\frac{sin^2x}{cos^2x}+\frac{sinx}{cosx}.\frac{cosx}{sinx}=tan^2x+1=\frac{1}{cos^2x}\)

\(\frac{1-4sin^2xcos^2x}{\left(sinx+cosx\right)^2}=\frac{\left(1-2sinx.cosx\right)\left(1+2sinx.cosx\right)}{sin^2x+cos^2x+2sinx.cosx}=\frac{\left(1-sin2x\right)\left(1+2sinx.cosx\right)}{1+2sinx.cosx}=1-2sinx\)

\(sin\left(90-x\right)+cos\left(180-x\right)+sin^2x\left(1+tan^2x\right)-tan^2x\)

\(=cosx-cosx+sin^2x.\frac{1}{cos^2x}-tan^2x=tan^2x-tan^2x=0\)

\(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cosa}}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(2cos^2\frac{a}{2}-1\right)}}\)

\(=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{cos^2\frac{a}{2}}}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos\frac{a}{2}}\)

\(=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(2cos^2\frac{a}{4}-1\right)}=\sqrt{cos^2\frac{a}{4}}\)

\(=cos\frac{a}{4}\)

a, Đặt\(\sqrt{x.\left(5-x\right)}=t\) \(\left(0\le t\right)\)

Bpt trở thành: \(-t^2+t+2< 0\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}t< -1\left(loai\right)\\t>2\end{matrix}\right.\)

Với t>2 =>\(\sqrt{x.\left(5-x\right)}>2\)

<=>\(-x^2+5x-4>0\)

<=>\(1< x< 4\)

<=>\(x\in\left(1;4\right)\)

b/ Hiển nhiên rằng vế phải không âm, do đó nghiệm của BPT chính là tất cả các giá trị làm cho biểu thức xác định

Vậy bạn chỉ cần tìm ĐKXĐ cho vế trái là xong (rất đơn giản)

Lời giải:
Đặt $\sin x=a; \cos x=b(a>b)$

Ta có: $a^3-b^3=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow (a^3-b^3)^2=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow a^6+b^6-2a^3b^3=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow (a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)-2a^3b^3=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow a^4-a^2b^2+b^4-2a^3b^3=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow (a^2+b^2)^2-3a^2b^2-2a^3b^3=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 3a^2b^2+2a^3b^3=\frac{1}{2}$

Đặt $ab=t$ thì $6t^2+4t^3-1=0$

$\Leftrightarrow 2t^2(2t+1)+(2t-1)(2t+1)=0$

$\Leftrightarrow (2t+1)(2t^2+2t-1)=0$

$\Rightarrow t=\frac{-1}{2}; t=\frac{-1\pm \sqrt{3}}{2}$

Nếu $t=ab=\frac{-1}{2}$:

$1=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\Rightarrow (a+b)^2=2ab+1=0\Rightarrow a=-b$

$\Rightarrow \tan x=\frac{a}{b}=-1$

$\Rightarrow \tan (x+\frac{\pi}{4})=\frac{\tan x+1}{1-\tan x}=0$

Nếu $t=ab=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\Rightarrow (a+b)^2=a^2+b^2+2ab=1+(-1-\sqrt{3})< 0$ (vô lý- loại)

Nếu $t=ab=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$

$a^3-b^3=\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow (a-b)(a^2+b^2+ab)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow (a-b)(1+ab)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow a-b=\frac{\sqrt{2}}{2}:(1+ab)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

Áp dụng định lý Vi-et đảo, $a,-b$ là nghiệm của PT:

$X^2-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}X+\frac{1-\sqrt{3}}{2}=0$

Đến đây giải ra tìm $a,-b\Rightarrow a,b$

$\Rightarrow \tan x=\frac{a}{b}$. Từ đó thế vào tìm $\tan (x+\frac{\pi}{4})$