Câu hỏi của huong02

Question

CMR: Nếu n+1 và 2n+1 ( n $\in$N) đều là số chính phương thì n chia hết cho 24.

Lê Song Phương · Accepted Answer

Vì $2n+1$là số chính phương, mà $2n+1$ là số lẻ nên đặt $2n+1=\left(2a+1\right)^2$

$\Leftrightarrow2n+1=4a^2+4a+1$$\Leftrightarrow2n=4a^2+4a$$\Leftrightarrow n=2a^2+2a$$\Leftrightarrow n=2a\left(a+1\right)$

$\Rightarrow n⋮2$$\Rightarrow n+1$là số lẻ

Mà $n+1$là số chính phương nên ta đặt $n+1=\left(2b+1\right)^2$$\Leftrightarrow n+1=4b^2+4b+1$$\Leftrightarrow n=4b^2+4b$$\Leftrightarrow n=4b\left(b+1\right)$

Vì $b$và $b+1$không cùng tính chẵn lẻ $\Rightarrow b\left(b+1\right)⋮2$$\Rightarrow4b\left(b+1\right)⋮8$$\Rightarrow n⋮8$

Xin lỗi, mình chỉ chứng minh được $n⋮8$thôi. Nhưng còn chứng minh $n⋮3$kiểu gì thì mình chưa biết.

Câu trả lời:

Vì $2n+1$là số chính phương, mà $2n+1$ là số lẻ nên đặt $2n+1=\left(2a+1\right)^2$

$\Leftrightarrow2n+1=4a^2+4a+1$$\Leftrightarrow2n=4a^2+4a$$\Leftrightarrow n=2a^2+2a$$\Leftrightarrow n=2a\left(a+1\right)$

$\Rightarrow n⋮2$$\Rightarrow n+1$là số lẻ

Mà $n+1$là số chính phương nên ta đặt $n+1=\left(2b+1\right)^2$$\Leftrightarrow n+1=4b^2+4b+1$$\Leftrightarrow n=4b^2+4b$$\Leftrightarrow n=4b\left(b+1\right)$

Vì $b$và $b+1$không cùng tính chẵn lẻ $\Rightarrow b\left(b+1\right)⋮2$$\Rightarrow4b\left(b+1\right)⋮8$$\Rightarrow n⋮8$

Xin lỗi, mình chỉ chứng minh được $n⋮8$thôi. Nhưng còn chứng minh $n⋮3$kiểu gì thì mình chưa biết.

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP