Ta có \(1=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\)

Theo đề bài ta có

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ca}{abc}\)

\(\ge\frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{abc}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge9\)

ta có a+bc=a(a+b+c)+ab=(a+b)(a+c)

tương tự b+ca=(b+c)(a+b)

c+ab=(a+c)(b+c)

ad bđt cô si cho 3 số dương ta có

a^3/(a+b)(a+c)+a+b/8+a+c/8 >=3a/4

tương tự bạn lm tiếp nhé

1/a+1/b+1/c >= 9

<=>(1/a+1/b+1/c)(a+b+c) >= 9(a+b+c)=9 (do a+b+c=1)

<=>3+(a/b+b/a)+(b/c+c/b)+(c/a+a/c) 

áp dụng bđt côsi cho các số dương a/b,b/a,b/c,c/b,c/a,a/c 

a/b+b/a >= 2.căn a/b . b/a =2 

Tương tự b/c+c/b >= 2,c/a+a/c >= 2

=>3+(a/b+b/a)+(b/c+c/b)+(c/a+a/c) >= 3+2+2+2=9 

=>đpcm

a)Áp dụng BDT AM-GM ta có:

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}\cdot\frac{1}{c}}=3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)

Nhân theo vế ta có: 

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}\cdot3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

1.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si thôi:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}\ge\frac{2\sqrt{ab}}{ab}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\ge\frac{2}{\frac{a+b}{2}}=\frac{4}{a+b}\)

Dấu "=" khi a = b

2.

Vì a,b,c là ba cạnh tam giác nên dễ thấy các mẫu số dương.

Áp dụng câu 1 ta có:

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{4}{a+b-c+c+a-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)

Tương tự:

\(\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)

\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)

Cộng theo vế ta được:

\(2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c hay tam giác đó đều.

Theo bất đẳng thức Cô-sy ta được:

\(a+b+c\ge3^3\sqrt{abc}\)(1)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3^3\sqrt{\frac{1}{abc}}\)(2)

Nhân (1) (2) vế heo vế ta được

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{1}=9\)

biến đổi cách này dễ hiểu hơn nề:))

vì a+b+c=1 nên

\(\frac{1}{a}\)=\(\frac{a+b+c}{a}\)= 1+ \(\frac{b}{a}\)+\(\frac{c}{a}\)

\(\frac{1}{b}\)=\(\frac{a+b+c}{b}\)= 1+ \(\frac{a}{b}\)+\(\frac{c}{b}\)

\(\frac{1}{c}\)=\(\frac{a+b+c}{c}\)= 1+ \(\frac{a}{c}\)+\(\frac{b}{c}\)

ta có \(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\)= 1+1+1+(\(\frac{a}{b}\)+\(\frac{b}{a}\))+(\(\frac{a}{c}\)+\(\frac{c}{a}\))+(\(\frac{b}{c}\)+\(\frac{c}{b}\))

ta lại có \(\frac{a}{b}\)+\(\frac{b}{a}\)\(\ge\)2 \(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2+b^2}{ab}\)\(\ge\)2\(\Leftrightarrow\)\(a^2\)+\(b^2\)\(\ge\)^{2ab \(\Leftrightarrow\)(a-b)^2\(\ge\)0      luôn đúng}

^{tương tự ta có a/c+c/a >= 2 và b/c+c/b >= 2}

^{vậy 1/a+1/b+1/c>=9}

Bài này bạn áp dụng BĐT Cô - si là ra

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3.\sqrt[3]{abc}.\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}=9\)

Dấu " = " xảy ra < = > a=b=c