-Áp dụng BĐT Caushy Schwarz cho các cặp số dương (1,1) ở tử và (a,b) ở mẫu ta có:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\dfrac{4}{a+b}\)

-Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\).

-Hoặc có thể c/m bằng phép biến đổi tương đương:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)ab.\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}.\left(a+b\right)ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

-Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)

Lời giải:

câu c)

Ta có: \(\frac{HD}{AD}=\frac{HD.BC}{AD.BC}=\frac{2S_{BHC}}{2S_{ABC}}=\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}\)

\(\frac{HE}{BE}=\frac{HE.AC}{BE.AC}=\frac{2S_{AHC}}{2S_{ABC}}=\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}}\)

\(\frac{HF}{CF}=\frac{HF.AB}{CF.AB}=\frac{2S_{AHB}}{2S_{ABC}}=\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}\)

Cộng theo vế các đẳng thức vừa thu được:

\(\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}=\frac{S_{HBC}+S_{AHC}+S_{AHB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)

Ta có đpcm.

Ta có : Do a ; b ; c là 3 cạnh của 1 tam giác nên :

\(\dfrac{a}{a+b+c}< \dfrac{a}{b+c}< \dfrac{2a}{a+b+c}\)

\(\dfrac{b}{a+b+c}< \dfrac{b}{c+a}< \dfrac{2b}{a+b+c}\)

\(\dfrac{c}{a+b+c}< \dfrac{c}{a+b}< \dfrac{2c}{a+b+c}\)

Cộng 3 vế với nhau , ta có :

\(1< \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}< 2\left(đpcm\right)\)

Ta có :

\(\dfrac{â}{b+c}>\dfrac{a}{a+b+c}\);

\(\dfrac{b}{c+a}>\dfrac{b}{a+b+c}\);

\(\dfrac{c}{a+b}>\dfrac{c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}>\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\) (*)

Ta có bất đằng thức tam giác : a+b > c ; b+c > a ; a+c > b

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b+c}< 1;\dfrac{b}{a+c}< 1;\dfrac{c}{a+b}< 1\)

Vì \(\dfrac{a}{b+c}< 1\Rightarrow\dfrac{a}{b+c}< \dfrac{a+a}{a+b+c}=\dfrac{2a}{a+b+c}\)

Tương tự :

\(\dfrac{b}{a+c}< \dfrac{2b}{a+b+c};\dfrac{c}{a+b}< \dfrac{2c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}< \dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\) (**)

Kết hợp (*) với (**)

=> ĐPCM

Tiện tay chém trước vài bài dễ.

Bài 1:

\(VT=\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\Sigma_{cyc}\frac{a}{\frac{a+b+c}{2}}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

Nhưng dấu bằng không xảy ra nên ta có đpcm. (tui dùng cái kí hiệu tổng cho nó gọn thôi nha!)

Bài 2:

1) Thấy nó sao sao nên để tối nghĩ luôn

2) 

c) \(VT=\left(a-b+1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi a = 0; b = 1

2b) \(VT=\left(a-2b+1\right)^2+\left(b-1\right)^2+1\ge1>0\)

Có đpcm

-Áp dụng BĐT Caushy Schwarz ta có:

\(\dfrac{1^2}{a+1}+\dfrac{1^2}{b+1}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{a+b+1+1}=\dfrac{4}{3}\)

-Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)

\(a^3+b^3+c^3=3abc\\ \Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\\ \Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\left(a+b+c\ne0\right)\\ \Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ac\\ \Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\\ \Rightarrow a=b=c\\ \Rightarrow B=\dfrac{2}{a}.\dfrac{2}{b}.\dfrac{2}{c}=\dfrac{8}{abc}\)