Với 2 số thực x,y>0, ta có:

\(x^3+y^3-x^2y-xy^2=\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\). Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\).

Do đó: \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\Leftrightarrow4x^3+4y^3\ge\left(x+y\right)^3\Leftrightarrow x+y\le\sqrt[3]{4x^3+4y^3}\)Áp dụng bđt vừa cm, ta có: \(S=\sqrt[3]{2a+b}+\sqrt[3]{2b+c}+\sqrt[3]{2c+d}+\sqrt[3]{2d+a}\le\sqrt[3]{8a+12b+4c}+\sqrt[3]{8c+12d+4a}\le\sqrt[3]{48a+48b+48c+48d}=\sqrt[3]{48}\)(vì a+b+c+d=1)

Dấu bằng xảy ra\(\Leftrightarrow a=b=c=d=\dfrac{1}{4}\)(vì a+b+c+d=1)

Bn ơi 3x³ + 3y³ vào cả 2 vế thì 4x³ + 4y³ > 3x³ + 3y³ + x²y + xy² k phải là (x + y)³

dự đoán dấu bằng xảy ra khi 4 số bằng nhau bằng 1/4. Ta áp dụng Côsi vào

\(\sqrt[3]{2a+b}.\sqrt[3]{\frac{3}{4}}.\sqrt[3]{\frac{3}{4}}\le\frac{2a+b+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}}{3}\)

Tương tự với mấy cái còn lại. Cộng vô ta sẽ tìm được GTLN.

Áp dụng bđt Bunhiacopxki :

\(A^2=\left(1.\sqrt{2a+b+1}+1.\sqrt{2b+c+1}+1.\sqrt{2c+a+1}\right)^2\)

\(\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2a+b+1+2b+c+1+2c+a+1\right)\)

\(\Rightarrow A^2\le3.3\left(a+b+c+1\right)\)

\(\Rightarrow A^2\le36\Rightarrow A\le6\) (Vì A > 0)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\begin{cases}\sqrt{2a+b+1}=\sqrt{2b+c+1}=\sqrt{2c+a+1}\\a+b+c=3\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Vậy A đạt giá trị lớn nhất bằng 6 tại a = b = c = 1

hay

Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có:

\(S^3=\left(\sqrt[3]{ab+2ac}.1.1+\sqrt[3]{bc+2ba}.1.1+\sqrt[3]{ca+2cb}.1.1\right)^3\le\left(ab+2ac+bc+2ba+ca+2cb\right)\left(1+1+1\right)\left(1+1+1\right)=27\left(ab+bc+ca\right)\le9\left(a+b+c\right)^2=81\)

\(\Rightarrow S\le3\sqrt[3]{3}\)

...

Áp dụng BĐT Cô -si cho 3 số không âm là a+ 2b, 3,3, ta được:

\(\sqrt[3]{a+2b}=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}\sqrt[3]{3.3\left(a+2b\right)}\le\frac{1}{\sqrt[3]{9}}.\frac{3+3+\left(a+2b\right)}{3}\)

\(=\frac{6+a+2b}{3\sqrt[3]{9}}\)

Tương tự ta có: \(\sqrt[3]{b+2c}\le\frac{6+b+2c}{3\sqrt[3]{9}}\); \(\sqrt[3]{c+2a}\le\frac{6+c+2a}{3\sqrt[3]{9}}\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{a+2b}+\sqrt[3]{b+2c}+\sqrt[3]{c+2a}\le\frac{18+3\left(a+b+c\right)}{3\sqrt[3]{9}}\)

\(=\frac{27}{3\sqrt[3]{9}}=3\sqrt[3]{3}\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=1\))

\(A=\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{a+b+2c}}+\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{b+c+2a}}+\frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{c+a+2b}}\)

\(A=\frac{a^2}{\sqrt{a\left(a+b+2c\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{b\left(b+c+2a\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{c\left(c+a+2b\right)}}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\sqrt{a\left(a+b+2c\right)}+\sqrt{b\left(b+c+2a\right)}+\sqrt{c\left(c+a+2b\right)}}\)

Xét: \(2\left(\sqrt{a\left(a+b+2c\right)}+\sqrt{b\left(b+c+2a\right)}+\sqrt{c\left(c+a+2b\right)}\right)\)

\(=\sqrt{4a\left(a+b+2c\right)}+\sqrt{4b\left(b+c+2a\right)}+\sqrt{4c\left(c+a+2b\right)}\)

\(\le\frac{4a+a+b+2c+4b+b+c+2a+4c+c+a+2b}{2}=4\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{a\left(a+b+2c\right)}+\sqrt{b\left(b+c+2a\right)}+\sqrt{c\left(c+a+2b\right)}\le2\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\sqrt{a\left(a+b+2c\right)}+\sqrt{b\left(b+c+2a\right)}+\sqrt{c\left(c+a+2b\right)}}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{2}\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)