Em không chắc lắm đâu nhé!

Biến đổi \(A=\frac{\left(\frac{a^4}{b^2}\right)}{b\left(c+2a\right)}+\frac{\left(\frac{b^4}{c^2}\right)}{c\left(a+2b\right)}+\frac{\left(\frac{c^4}{a^2}\right)}{a\left(b+2c\right)}\)

\(=\frac{\left(\frac{a^2}{b}\right)^2}{b\left(c+2a\right)}+\frac{\left(\frac{b^2}{c}\right)^2}{c\left(a+2b\right)}+\frac{\left(\frac{c^2}{a}\right)^2}{a\left(b+2c\right)}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel:\(A\ge\frac{\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz cho cái biểu thức trong ngoặc ở trên tử,ta lại được:

\(A\ge\frac{\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\) (áp dụng BĐT quen thuộc \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\) cho cái biểu thức dưới mẫu)

Dấu "=" xảy ra khi a = b =c

Vậy \(A_{min}=1\Leftrightarrow a=b=c\)

4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)

\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)

\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)

Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)

Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)

@Cool Kid:

Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)

Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)

a) Dùng (a+b)²≥4ab
Chia hai vế cho a+b ( vì ab khác 0)
Ta có a+b≥\(\frac{4ab}{a+b}\) (Chuyển ab sang a+b) ta có
\(\frac{a+b}{ab}\)≥\(\frac{4}{a+b}\) <=> \(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)≥\(\frac{4}{a+b}\)

\(VT=\frac{a}{a+b+a+c}+\frac{b}{a+b+b+c}+\frac{c}{a+c+b+c}\)

\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c}\right)=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

\(VT=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)

\(VT\ge\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}=\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)+\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)+\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+a}\right)\)

\(VT\ge\frac{4}{a+2b+c}+\frac{4}{a+b+2c}+\frac{4}{2a+b+c}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Ta có: 

\(\frac{a}{2a+b+c}=\frac{a}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le\frac{a}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)

\(\frac{b}{a+2b+c}=\frac{b}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\le\frac{b}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)\)

\(\frac{c}{a+b+2c}=\frac{c}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\le\frac{c}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)

Cộng  vế theo vế:

=> \(\frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{a+2b+c}+\frac{c}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(1+1+1\right)=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c

Cách 1:

Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh

\(1-\frac{a}{2b+b+c}+1-\frac{b}{a+2b+c}+1-\frac{c}{a+b+2c}\ge\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{2a+b+c}+\frac{a+b+c}{a+2b+c}+\frac{a+b+c}{a+b+2c}\ge\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow4\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\right)\ge9\)

Đặt x=2a+b+c; y=a+2b+c; z=a+b+2c => x+y+z=4(a+b+c)

Khi đó đẳng thức trên trở thành

\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}-2\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}-2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)^2}{2xy}+\frac{\left(y-z\right)^2}{2yz}+\frac{\left(z-x\right)^2}{2xz}\ge0\)

BĐT cuối luôn đúng

Vậy BĐT được chứng minh. Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c

Cách 2:

Đặt x=2a+b+c; y=a+2b+c; z=a+b+2c

=> \(\hept{\begin{cases}a=\frac{2x-y-z}{4}\\b=\frac{3y-x-z}{4}\\c=\frac{3z-x-y}{4}\end{cases}}\)

BĐT cần chứng minh được viết lại thành

\(\frac{3x-y-z}{4x}+\frac{3y-x-z}{4y}+\frac{3z-x-z}{4z}\le\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{z}{x}+\frac{z}{x}\right)\ge\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{z}{x}+\frac{z}{x}\ge6\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}-2\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}-2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)^2}{2xy}+\frac{\left(y-z\right)^2}{2yz}+\frac{\left(z-x\right)^2}{2zx}\ge0\)

BĐT cuối luôn đúng

Vậy BĐT được chứng minh. Dấu "=" <=> a=b=c