Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tham khảo
Câu hỏi của Châu Trần - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Ta có:\(\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}=\sqrt{\frac{bc}{a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)\) (Áp dụng BĐT AM-GM)
Tương tự với hai BĐT còn lại và cộng theo vế ta thu được đpcm.
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)
Đặt vế trái là P và \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=4\)
Ta cần chứng minh: \(P=\frac{1}{xy+2yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+2zx}+\frac{1}{2xy+yz+zx}\le\frac{1}{xyz}\)
\(P=\frac{1}{xy+yz+yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+zx+zx}+\frac{1}{xy+xy+yz+zx}\)
\(P\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{1}{zx}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{2}{zx}+\frac{2}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)
\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{x+y+z}{xyz}\right)=\frac{1}{4}.\frac{4}{xyz}=\frac{1}{xyz}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{4}{3}\) hay \(a=b=c=\frac{16}{9}\)
Theo giả thiết thì \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\Rightarrow ab+bc+ca=abc\)
Ta cần chứng minh: \(\Sigma\sqrt{a+bc}\ge\sqrt{abc}+\Sigma\sqrt{a}\)(*)
Thật vậy: (*) \(\Leftrightarrow\Sigma\sqrt{\frac{a^2+abc}{a}}\ge\sqrt{abc}+\Sigma\sqrt{a}\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\sqrt{\frac{a^2+ab+bc+ca}{a}}\ge\sqrt{abc}+\Sigma\sqrt{a}\)\(\Leftrightarrow\Sigma\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a}}\ge\sqrt{abc}+\Sigma\sqrt{a}\)
\(\Leftrightarrow\text{}\Sigma\sqrt{bc\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge abc+\sqrt{abc}\left(\Sigma\sqrt{a}\right)\)(Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với \(\sqrt{abc}>0\))
\(\Leftrightarrow\Sigma\sqrt{\left(b^2+ab\right)\left(c^2+ac\right)}\ge abc+\Sigma a\sqrt{bc}\)
Bất đẳng thức cuối luôn đúng vì theo BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: \(\Sigma\sqrt{\left(b^2+ab\right)\left(c^2+ac\right)}\ge\Sigma\left(bc+a\sqrt{bc}\right)=abc+\Sigma a\sqrt{bc}\text{}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 3
Đề bài nhìn không đúng lắm (thay điểm rơi vào thấy ko thỏa) có lẽ bạn ghi thiếu c cuối cùng, BĐT đúng có vẻ là:
\(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}\ge\sqrt{abc}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)
Mình sẽ chứng minh BĐT bên trên, BĐT tương đương:
\(\sqrt{\frac{1}{bc}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{ac}+\frac{1}{b}}+\sqrt{\frac{1}{ab}+\frac{1}{c}}\ge1+\sqrt{\frac{1}{bc}}+\sqrt{\frac{1}{ac}}+\sqrt{\frac{1}{ab}}\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=1\)
Ta cần chứng minh:
\(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
Thật vậy:
\(\sqrt{x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}\ge x+\sqrt{yx}\)
Làm tương tự và cộng lại:
\(VT\ge x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\) hay \(a=b=c=3\)
Trước khi đọc lời giải hãy thăm nhà em trước nhé ! See method from solution! Cảm ơn mn!
Ok, giờ chú ý:
\(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\)
\(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{abc+ab+a}+\frac{ab}{ab.ca+abc+ab}\)
\(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{ab+a+1}+\frac{ab}{ab+a+1}=1\) với abc = 1.
Như vậy: \(VT=\sqrt{\left(\Sigma\frac{1}{\sqrt{ab+a+2}}\right)^2}\le\sqrt{3\left(\Sigma\frac{1}{\frac{\left(ab+a+1\right)}{3}+\frac{\left(ab+a+1\right)}{3}+\frac{\left(ab+a+1\right)}{3}+1}\right)}\)
\(\le\sqrt{\frac{3}{16}\left[\Sigma\left(\frac{9}{ab+a+1}+1\right)\right]}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có
\(\frac{ab\sqrt{ab}}{a+b}\le\frac{ab\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab}}=\frac{ab}{2}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:
\(\frac{bc\sqrt{bc}}{b+c}\le\frac{bc}{2};\frac{ac\sqrt{ac}}{a+c}\le\frac{ac}{2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT=Σ\frac{ab\sqrt{ab}}{a+b}\le\frac{ab+bc+ca}{2}=VP\)
Khi \(a=b=c\)
b)Áp dụng tiếp AM-GM:
\(b\sqrt{a-1}\le\frac{b\left(a-1+1\right)}{2}=\frac{ab}{2}\)
\(a\sqrt{b-1}\le\frac{a\left(b-1+1\right)}{2}=\frac{ab}{2}\)
Cộng theo vế 2 BĐT trên ta có:
\(VT=b\sqrt{a-1}+a\sqrt{b-1}\le ab=VP\)
Khi \(a=b=1\)
Ta có: \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x+y+z\right)^2=\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)\) nên với \(x,y,z>0\) ta có:
\(x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}\) áp dụng ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{ab+a+2}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+2}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+2}}\le\sqrt{3\left(\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2}\right)}\)
Với: \(x,y>0\) ta có: \(x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Áp dụng ta được:
\(\frac{1}{ab+a+2}=\frac{1}{ab+1+a+1}=\frac{1}{ab+abc+a+1}=\frac{1}{ab\left(c+1\right)+\left(a+1\right)}\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab\left(c+1\right)}+\frac{1}{a+1}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{abc}{ab\left(c+1\right)}+\frac{1}{a+1}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{c}{c+1}+\frac{1}{a+1}\right)\)
Vậy ta có: \(\frac{1}{ab+a+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{c}{c+1}+\frac{1}{a+1}\right)\)
Tương tự như trên ta có: \(\frac{1}{bc+b+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)\) và \(\frac{1}{ca+c+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\) nên:
\(\Rightarrow\sqrt{3\left(\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2}\right)}\)
\(\le\sqrt{3.\frac{1}{4}\left(\frac{c}{c+1}+\frac{1}{a+1}+\frac{a}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)}=\frac{3}{2}\)
Vậy \(\frac{1}{\sqrt{ab+a+2}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+2}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+2}}\le\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x}\right)\). BĐT quy về:\(\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{xy+xz+2yz}}\le\frac{3}{2}\)
Áp dụng liên hoàn BĐT Cô si:
\(VT=\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{yz}{\left(xy+yz\right)+\left(xz+yz\right)}}\le\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{yz}{4}\left(\frac{1}{xy+yz}+\frac{1}{xz+yz}\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\Sigma_{cyc}\sqrt{1\left(\frac{yz}{xy+yz}+\frac{yz}{xz+yz}\right)}\le\frac{1}{4}\Sigma_{cyc}\left(1+\frac{yz}{xy+yz}+\frac{yz}{xz+yz}\right)=\frac{3}{2}\)