a/ BĐT sai, cho \(a=b=c=2\) là thấy

b/ \(VT=\frac{a^4}{a^2+2ab}+\frac{b^4}{b^2+2bc}+\frac{c^4}{c^2+2ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)

\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)^2}{3\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

c/ Tiếp tục sai nữa, vế phải là \(\frac{3}{2}\) chứ ko phải \(2\), và hy vọng rằng a;b;c dương

\(VT=\frac{a^2}{abc.b+a}+\frac{b^2}{abc.c+b}+\frac{c^2}{abc.a+c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{abc\left(a+b+c\right)+a+b+c}\)

\(VT\ge\frac{9}{3abc+3}\ge\frac{9}{\frac{3\left(a+b+c\right)^3}{27}+3}=\frac{9}{\frac{3.3^3}{27}+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Ta có:

\(a^3+b^3+b^3\ge3ab^2\) ; \(b^3+c^3+c^3\ge3bc^2\) ; \(c^3+a^3+a^3\ge3ca^2\)

Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge ab^2+bc^2+ca^2\)

\(\frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2}=\frac{a^6}{ab^2}+\frac{b^6}{bc^2}+\frac{c^6}{ca^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{ab^2+bc^2+ca^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+b^3+c^3}=a^3+b^3+c^3\)

cái này chỉ theo ý kiến tớ nhé:

ta có: \(\left(c-a-b\right)^2\ge0\)

=> \(a^2+b^2+c^2\ge2ac+2bc-2ab\)

<=> \(\frac{5}{6}\ge ac+bc-ab\)

<=> \(1>ac+bc-ab\)

abc>0 chia cho hai vế

\(\frac{1}{abc}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\)

Ta có: \(\left(a+b-c\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab-bc-ca\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge2ca+2bc-2ab\)(1) 

Mặt khác \(a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2< 2\)(2) 

Từ (1)(2) \(\Rightarrow2bc+2ca-2ab\le a^2+b^2+c^2< 2\)

Do a,b,c>0 \(\Leftrightarrow\frac{2bc+2ca-2ab}{2abc}< \frac{2}{2abc}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)

Ta có :

\(a^2+b^2+c^2-2bc-2ca+2ab\)

\(=\left(a+b-c\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-2bc-2ca+2ab\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge2bc+2ca-2ab\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a+b=c\)

Mà \(\frac{5}{3}< \frac{6}{3}=2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\)

\(\Rightarrow2bc+2ac-2ab\le a^2+b^2+c^2< 2\)

\(\Rightarrow2bc+2ac-2ab< 2\)

Do a ,b , c > 0

\(\Rightarrow\frac{2bc+2ac-2ab}{2abc}< \frac{2}{2abc}\)

\(\Rightarrow\frac{2bc}{2abc}+\frac{2ac}{2abc}-\frac{2ab}{2abc}< \frac{2}{2abc}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)

Vậy ...

Ta có:\(\left(a+b-c\right)^2\ge0\)(với a,b,c > 0)

<=> \(a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca\ge0\)

<=> \(bc+ac-ab\le\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{5}{6}< 1\)

Chia 2 vế của bđt cho abc >0 ta dc

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)

Vì vai trò của a,b,c như nhau,không mất tính tổng quát ta có:\(a\le b\le c\le1\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-1\le0\\b-1\le0\\c-1\le0\end{cases}}\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(\frac{a^2}{a^2+b^5+c^5}\le\frac{a^2}{3\sqrt[3]{a^2b^5c^5}}=\frac{a^2}{3bc}\)

Tương tự:\(\frac{b^2}{b^2+a^5+c^5}\le\frac{b^2}{3ac};\frac{c^2}{c^2+a^5+b^5}\le\frac{c^2}{3ab}\)

Cộng vế với vế của 3 BĐT trên ta đươc:

\(\frac{a^2}{a^2+b^5+c^5}+\frac{b^2}{b^2+a^5+c^5}+\frac{c^2}{c^2+a^5+b^5}\le\frac{a^2}{3bc}+\frac{b^2}{3ac}+\frac{c^2}{3ab}=\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\)

Xét \(a^3+b^3+c^3\le3\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3-1\right)+\left(b^3-1\right)+\left(c^3-1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)+\left(b-1\right)\left(b^2+b+1\right)+\left(c-1\right)\left(c^2+c+1\right)\le0\) (đúng)

Từ đó suy ra:  

\(\frac{a^2}{a^2+b^5+c^5}+\frac{b^2}{b^2+a^5+c^5}+\frac{c^2}{c^2+a^5+b^5}\le\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\le\frac{3}{3}=1\left(đpcm\right)\)

Dấu '='xảy ra khi\(\hept{\begin{cases}a=b=c\\abc=1\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=1}\)

Ta có:\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)\)

Để \(a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}\) thì \(ab+bc+ca=0\)

Mà \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{bc}{abc}+\frac{ca}{abc}+\frac{ab}{abc}=\frac{bc+ca+ab}{abc}\)

Thay ab + bc + ca = 0 vào,ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{bc+ca+ab}{abc}=\frac{0}{abc}=0\)

Mà a,b,c > 0 nên abc > 0 do đó \(\frac{1}{abc}>0\) hay \(\frac{1}{abc}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) hay \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\) 

Suy ra đpcm.

bn ơi tại sao ab+bc+ac=0

mk k hiểu chỗ đó