UCT. Chứng minh \(2a+\frac{1}{a}\ge\frac{a^2+5}{2}\) với \(0< a^2;b^2;c^2< \sqrt{3}\)

Tương tự cộng lại là xong

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\(a+\frac{1}{a}\ge2\)và \(b+\frac{1}{b}\ge2\)và \(c+\frac{1}{c}\ge2\)

\(\Rightarrow P\ge a+b+c+6\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)( thỏa đề bài)

\(\Leftrightarrow minP=1+1+1+6=9\)

\(a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow0< a;b;c< \sqrt{3}\)

Với mọi số thực \(x\in\left(0;\sqrt{3}\right)\) ta có đánh giá sau:

\(2x+\frac{1}{x}\ge\frac{x^2+5}{2}\)

Thật vậy, BĐT tương đương:

\(2\left(2x^2+1\right)-x\left(x^2+5\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(2-x\right)\ge0\) (luôn đúng với mọi \(x\in\left(0;\sqrt{3}\right)\))

Áp dụng: \(P=2a+\frac{1}{a}+2b+\frac{1}{b}+2c+\frac{1}{c}\ge\frac{a^2+b^2+c^2+15}{2}=9\)

\(P_{min}=9\) khi \(a=b=c=1\)

Ta có:\(A\ge\left(a+b+1\right)\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{4}{a+b}\)

Đặt \(t=a+b\)thì \(t\ge2\) theo AM-GM

Ta có:\(A\ge\frac{t^3}{2}+\frac{t^2}{2}+\frac{4}{t}=\frac{t^3}{2}+\frac{t^2}{4}+\frac{t^2}{4}+\frac{2}{t}+\frac{2}{t}\ge4+1+3=8\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)

Áp dụng bđt cosi ta dc

P>= (2canab+1)(2ab)+4/(2canab)

=8

câu hỏi ko tl cx thấy xàm xàm xàm xmà

\(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\Rightarrow\left(a+b\right)^2\le2\Rightarrow a+b\le\sqrt{2}\Rightarrow\frac{1}{a+b}\ge\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(T=2+a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2+a+b+\frac{4}{a+b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)

\(T\ge2+a+b+\frac{2}{a+b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{2}{a+b}\)

\(T\ge2+2\sqrt{\frac{2\left(a+b\right)}{a+b}}+2\sqrt{\frac{ab}{ab}}+2.\frac{\sqrt{2}}{2}=4+3\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow T_{min}=4+3\sqrt{2}\) khi \(a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

ui..khó qw ~ mún giải lắm nhưng hk đc...e ms lp 7 thoy ak***ahihi^^

nè  đọc cái bất đnagử thức shur và kĩ năng đặt ẩn p-q-r đi là giải ra , nên tìm kiếm trong ộng tổ google đi nhé\

\(1>=\left(x+y\right)^2>=\left(2\sqrt{xy}\right)^2=4xy\Rightarrow1>=4xy\Rightarrow\frac{1}{2}>=2xy\)(bđt cosi)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{1}{2xy}>=\frac{4}{x^2+2xy+y^2}+\frac{1}{\frac{1}{2}}\)

\(=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2>=\frac{4}{1^2}+2=4+2=6\)

dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

vậy min \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=6\)khi \(x=y=\frac{1}{2}\)