\(a^2+b^2=c^2+d^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2=2\left(c^2+d^2\right)⋮2\)

Mà \(a^2+b^2+c^2+d^2-a-b-c-d⋮2\)

Nên a + b + c + d chia hết cho 2

- Bạn ơii =) \(a^2-a=a\) ??? Sai sai à nha :))

a² + b² = c² + d²

\(\Rightarrow\)a² + b² + c² + d² = 2 ( a² + b² ) \(⋮\)2 nên là hợp số

Ta có : a² + b² + c² + d² - ( a + b + c + d ) 

= a ( a - 1 ) + b ( b - 1 ) + c ( c - 1 ) + d ( d - 1 ) \(⋮\)2

\(\Rightarrow\)a + b + c + d \(⋮\)2 nên cũng là hợp số

Câu 1 .

\(\left|x^2+|x+1|\right|=x^2+5\)

\(Đkxđ:x^2+5\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2\ge-5,\forall x\) ( với mọi x , vì bất cứ số nào bình phương cũng lớn hơn hoặc bằng - 5 ) 

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+\left|x+1\right|=x^2+5\\x^2+\left|x+1\right|=-x^2-5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left|x+1\right|=5\\\left|x+1\right|=-2x^2-5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+1=5;x+1=-5\\x+1=-2x^2-5;x+1=2x^2+5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4;x=-6\\2x^2+x+1=0;-2x^2+x-4=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4;x=-6\\2x^2+x+1=0\left(VN\right);-2x^2+x-4=0\left(VN\right)\end{cases}}\) ( VN là vô nghiệm nha ) 

Vậy : x = 4 hoặc x = -6 

Hoặc 

Xét ( a² + b² + c² + d² )  - ( a + b + c + d)

        = a(a -1)  + b( b -1) + c( c – 1) + d( d – 1)

Vì a là  số nguyên dương nên a, (a – 1) là hai số tự nhiên liên tiếp

=> a(a-1) chia hết cho 2. Tương tự ta có b(b-1); c(c-1); d(d-1) đều chia hết cho 2

=> a(a -1)  + b( b -1) + c( c – 1) + d( d – 1) là số chẵn

Lại có a² + c² = b² + d²=>  a² + b² + c² + d² = 2( b² + d²) là số chẵn.

Do đó a + b + c + d là số chẵn mà a + b + c + d > 2 (Do a, b, c, d thuộc N*)

 a + b + c + d là hợp số.

a2

Bạn Trần Thùy Dung ơi làm sai ùi cách 1 làm sai ùi:

đây là phép cộng không phải phép nhân

a . 

\(b^2\)= ac => \(\frac{a}{b}\)=\(\frac{b}{c}\)

c\(^2\)= bd => \(\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)

=>\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a^3}{b^3}=\frac{a^3}{b^3}=\frac{c^3}{d^3}\)=\(\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)}{\left(b^3+c^3+d^3\right)}\)( theo \(\frac{t}{c}\)của dãy tỉ số = )

Mà \(\frac{a^3}{b^3}\)= \(\frac{a}{b}\)x   \(\frac{a}{b}\).x   \(\frac{a}{b}\)  =   \(\frac{a}{b}\)    x\(\frac{b}{c}\)x\(\frac{c}{d}\)= \(\frac{a}{d}\)

Nên \(\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)}{\left(b^3+c^3+d^3\right)}\)=\(\frac{a}{d}\)

 x-y=2<=>x=y+2 
thay vào Q được: 
Q=(y+2)^2+y^2-(y+2)y 
=y^2+2y+4 
=(y+1)^2+3 
=>A>=3 
dấu bằng xảy ra <=>y= -1 và x=1 
vậy min Q=3

Xét:\(\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)+\left(a+b+c+d\right)\)

\(=\left(a^2+a\right)+\left(b^2+b\right)+\left(c^2+c\right)\left(d^2+d\right)\)

\(=a\left(a+1\right)+b\left(b+1\right)+c\left(c+1\right)+d\left(d+1\right)\)

Ta có: \(a.\left(a+1\right);b\left(b+1\right);c\left(c+1\right);d\left(d+1\right)\) là tích của hai số nguyên dương liên tiếp .Do đó chúng chia hết cho 2

\( \implies\)\(\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)+\left(a+b+c+d\right)\) chia hết cho 2

Mà \(a^2+b^2+c^2+d^2=2\left(b^2+d^2\right)\) chia hết cho 2

\( \implies\) \(a+b+c+d\) chia hết cho 2

Mà \(a+b+c+d\) \(\geq\) \(4\) \(\implies\) \(a+b+c+d\) là hợp số (đpcm)

a) Vừa nhìn đề biết ngay sai

Sửa đề:

Chứng minh: \(P\left(-1\right).P\left(-2\right)\le0\)

Giải:

Ta có:

\(P\left(x\right)=ax^2+bx+c\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}P\left(-1\right)=a.\left(-1\right)^2+b.\left(-1\right)+c\\P\left(-2\right)=a.\left(-2\right)^2+b.\left(-2\right)+c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}P\left(-1\right)=a-b+c\\P\left(-2\right)=4a-2b+c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P\left(-1\right)+P\left(-2\right)=\left(a-b+c\right)+\left(4a-2b+c\right)\)

\(=\left(a+4a\right)-\left(b+2b\right)+\left(c+c\right)\)

\(=5a-3b+2c=0\)

\(\Rightarrow P\left(-1\right)=-P\left(-2\right)\)

\(\Rightarrow P\left(-1\right).P\left(-2\right)=-P^2\left(-2\right)\le0\) vì \(P^2\left(-2\right)\ge0\)

Vậy nếu \(5a-3b+2c=0\) thì \(P\left(-1\right).P\left(-2\right)\le0\)

b) Giải:

Từ giả thiết suy ra:

\(\left\{{}\begin{matrix}b^2=ac\\c^2=bd\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}\)

Ta có:

\(\dfrac{a^3}{b^3}=\dfrac{b^3}{c^3}=\dfrac{c^3}{d^3}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}\left(1\right)\)

Lại có:

\(\dfrac{a^3}{b^3}=\dfrac{a}{b}.\dfrac{a}{b}.\dfrac{a}{b}=\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{d}=\dfrac{a.b.c}{b.c.d}=\dfrac{a}{d}\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\dfrac{a}{d}\) (Đpcm)

a) Có P(1) = a.\(1^2\)+b.1+c = a+b+c

P(2) = a.\(2^2\)+b.2+c = 4a+2b+c

=>P(1)+P(2) = a+b+c+4a+2b+c = 5a+3b+2c = 0

<=>\(\left[{}\begin{matrix}P\left(1\right)=P\left(2\right)=0\\P\left(1\right)=-P\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Nếu P(1) = P(2) => P(1).P(2) = 0

Nếu P(1) = -P(2) => P(1).P(2) < 0

Vậy P(1).P(2)\(\le\)0

b) Từ \(b^2=ac\) =>\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}\) (1)

\(c^2=bd\) =>\(\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}\) (2)

Từ (1) và (2) => \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}\)

Áp dụng tc của dãy tỉ số bằng nhau ta có

Giải:

Ta có: \(b^2=ac\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\)

\(c^2=bd\Rightarrow\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}=\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}\) (1)

\(\frac{a^3}{b^3}=\frac{a}{b}.\frac{a}{b}.\frac{a}{b}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}=\frac{a}{d}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{a}{d}\left(đpcm\right)\)