1.

Ta có: \(\frac{1}{2}a=\frac{2}{3}b=\frac{3}{4}c\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}a.\frac{1}{6}=\frac{2}{3}b.\frac{1}{6}=\frac{3}{4}c.\frac{1}{6}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{12}=\frac{b}{9}=\frac{c}{8}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a}{12}=\frac{b}{9}=\frac{c}{8}=\frac{a-b}{12-9}=\frac{15}{3}=5\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=5.12=60\\b=5.9=45\\c=5.8=40\end{cases}}\)

Vậy \(\hept{\begin{cases}a=60\\b=45\\c=40\end{cases}}\)

2.  Đặt \(a_1+a_2+...+a_n=d\)

ÁP dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\frac{x_1}{a_1}=\frac{x_2}{a_2}=...=\frac{x_n}{a_n}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{a_1+a_2+...+a_n}=\frac{c}{d}\)

\(\Rightarrow x_1=\frac{c}{d}.a_1;x_2=\frac{c}{d}.a_2;....;x_n=\frac{c}{d}.a_n\)

Giả sử tất cả các số a_k với 1 < k < 2014 đều là số lẻ 

Quy đồng mẫu số các phân số ở vế trái

+) Nếu a₂₀₁₄ lẻ => Tử số của 2014 phân số đã cho đều là số lẻ => Tổng của 2014 tử số đó là số chẵn

Vì các số a₁; ...; a₂₀₁₄ đều lẻ nên tích a₁.a₂...a₂₀₁₄ lẻ Mà tử số là số chẵn Nên phân số đó không thể bằng 1 => điều giả sử sai

+) Nếu a₂₀₁₄ chẵn => tử số các phân số thứ nhất đến phân số thứ 2013 đều là số chẵn ; tử số của phân số thứ 2014 là số lẻ Nên tổng các tử số là số lẻ

Vì a₂₀₁₄ chẵn nên mẫu số của phân số sau khi quy đồng là số chẵn

=> Tử số không chia hết cho mẫu số => Phân số đó không thể bằng 1 => điều giả sử là sai

Vậy luôn tồn tại 1 số a_k từ a₁ đến a₂₀₁₃ là số chẵn

Giả sử tất cả các số a_k với 1 < k < 2014 đều là số lẻ 

Quy đồng mẫu số các phân số ở vế trái

+) Nếu a₂₀₁₄ lẻ => Tử số của 2014 phân số đã cho đều là số lẻ => Tổng của 2014 tử số đó là số chẵn

Vì các số a₁; ...; a₂₀₁₄ đều lẻ nên tích a₁.a₂...a₂₀₁₄ lẻ Mà tử số là số chẵn Nên phân số đó không thể bằng 1 => điều giả sử sai

+) Nếu a₂₀₁₄ chẵn => tử số các phân số thứ nhất đến phân số thứ 2013 đều là số chẵn ; tử số của phân số thứ 2014 là số lẻ Nên tổng các tử số là số lẻ

Vì a₂₀₁₄ chẵn nên mẫu số của phân số sau khi quy đồng là số chẵn

=> Tử số không chia hết cho mẫu số => Phân số đó không thể bằng 1 => điều giả sử là sai

Vậy luôn tồn tại 1 số a_k từ a₁ đến a₂₀₁₃ là số chẵn

Giả sử rằng trong 44 số đã cho, không có hai số nào bằng nhau . Vai trò các số này bình đẳng nên ta giả sử \(a_1< a_2< ...< a_{44}\). Vì a₁ , a₂ ,..., a₄₄ là các số nguyên dương nên ta có thể gọi \(a_1\ge2\), \(a_2\ge3\).... , \(a_{44}\ge45\)(Dễ thấy \(a_1=1\)thì không tồn tại các giá trị \(a_j\) \(\left(j=2,3,...,44\right)\)thỏa mãn đề bài)

Khi đó : \(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+...+\frac{1}{a_{44}^2}\le\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{45^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{44.45}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{44}-\frac{1}{45}=1-\frac{1}{45}< 1\)

Như vậy đẳng thức không xảy ra (vô lí) => điều giả sử sai. 

Vậy trong 44 số đã cho tồn tại 2 số bằng nhau. (đpcm)

Tham khảo cách làm và đề sau:

Cho 2015 số nguyên dương a1;a2;...;a2016 thỏa mãn 

\(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+....+\frac{1}{a_{2016}}=300\)

CMR:tồn tại ít nhất 2 số đã cho bằng nhau.

Giải 

Giả sử trong 2016 sô đã cho ko có 2 số nào bằng nhau,ko mất tính tổng quát giả sử a1<a2<....<a2016 

Vì a1,a2,....,a2016 đều là số nguyên dương nên ta suy ra \(a_1\ge1;a_2\ge2;...;a_{2016}\ge2016\)

Suy ra \(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{2016}}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2016}\)

\(=1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right)+...+\left(\frac{1}{1024}+\frac{1}{1025}+....+\frac{1}{2016}\right)\)

\(< 1+\frac{1}{2}\cdot2+\frac{1}{2^2}\cdot2^2+...+\frac{1}{2^{10}}\cdot2^{10}=11< 30\)

Mâu thuẫn vs gt ->Giả sử sai

=>Trong 2016 số đã cho có ít nhất 2 số bằng nhau