m=(2k+1)2;n=(2k+3)2m=(2k+1)2;n=(2k+3)2 (k thuộc N)

⇒mn−m−n+1=(2k+1)2.(2k+3)2−(2k+1)2−(2k+3)2+1=16k(k+2)(k+1)⇒mn−m−n+1=(2k+1)2.(2k+3)2−(2k+1)2−(2k+3)2+1=16k(k+2)(k+1)

Do k;k+1;k+2k;k+1;k+2 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3

⇒16k(k+2)(k+1)2⋮3⇒16k(k+2)(k+1)2⋮3

+ k chẵn ⇒k(k+2)⋮4⇒k(k+2)⋮4

+k lẻ ⇒(k+1)2⋮4⇒(k+1)2⋮4

⇒16k(k+2)(k+1)2⋮64⇒16k(k+2)(k+1)2⋮64

mn−m−n+1⋮192

mn - m - n + 1 

= m[n - 1] - [n - 1]

= [n - 1][m - 1]

Vì m,n là hai số cp lẻ liên tiếp, ta có:

m = [2x-1]² = 4x² - 4x + 1

n = [2x+1]² = 4x² + 4x + 1

=> [m-1][n-1] = 4x[x - 1].4x[x+1]

                    = [x-1]x[x+1].4.4.x

                    = x[x - 1]. x[x+1].4.4

Vì [x-1]x[x+1] là tích ba số liên tiếp nên chia hết cho 3

=> [n-1][m-1] chia hết cho 3

Lại có:

x[x - 1] và x[x+1] chia hết cho 2 [là tích hai số liên tiếp]

=> [m-1][n-1] chia hết cho 4*2*4*2 = 64 [hai thừa số 4 và hai thừa số chia hết cho 2]

Mà 3,64 nguyên tố cùng nhau

=> [m-1][n-1] chia hết cho 3.64 = 192

Vậy mn-m-n + 1 chia hết cho 192 khi mn, là 2 số cp lẻ liên tiếp

b, vì a và b là 2 stn liên tiếp nên a=b+1 hoặc b=a+1

cho b=a+1

\(A=a^2+b^2+c^2=a^2+b^2+a^2b^2=a^2+\left(a+1\right)^2+a^2\left(a+1\right)^2\)

\(=a^2+\left(a+1\right)^2\left(a^2+1\right)=a^2+\left(a^2+2a+1\right)\left(a^2+1\right)\)

\(=a^2+2a\left(a^2+1\right)+\left(a^2+1\right)^2=\left(a^2+a+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{A}=\sqrt{\left(a^2+a+1\right)^2}=a^2+a+1=a\left(a+1\right)+1=ab+1\)

vì a b là 2 stn liên tiếp nên sẽ có 1 số chẵn\(\Rightarrow ab\)chẵn \(\Rightarrow ab+1\)lẻ \(\Rightarrow\sqrt{A}\)lẻ (đpcm)

Làm cả câu a đi nhé! Nếu bạn làm được cả câu a thì mình k!  ^_^  *_*

Ta có : 

\(4m^2+m=5n^2+n\)

\(\Leftrightarrow5m^2+m=5n^2+n+m^2\)

\(\Leftrightarrow5\left(m^2-n^2\right)+\left(m-n\right)=m^2\)

\(\Leftrightarrow\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)=m^2\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}m-n⋮d\\5m+5n+1⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}m^2=\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)⋮d^2\\5\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)⋮d\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m⋮d\\10m+1⋮d\end{cases}\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1}\)

Vậy \(m-n,5m+5n+1\) nguyên tố cùng nhau . Mà tích của chúng là một số chính phương nên bản thân \(m-n,5m+5n+1\) cũng là số chính phương ( đpcm)

Chúc bạn học tốt !!!

Số hạng thứ n của dãy là:n(n+1)/2

Số hạng thứ n-1 của dãy là:(n-1)n/2

Ta có:(n-1)n/2+n(n+1)/2=(n^2-n)/2+(n^2+n)/2

                                  =(2n^2)/2=n^2

Vì n thuộc N nên n^2 là số chính phương

Vậy tổng 2 số hạng liên tiếp của dãy là số chính phương.

Ta xét tổng hai số 

(n-1)×n/2  +  n×(n+1)/2

=> (n-1)×n+n×(n+1) /2

=>n×[(n-1)×(n+1)]  /2

=>n×2n /2

=> 2×n²  /2

=> n²

bài toán được chứng minh

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm faFA fSFsrbarfwacrrwamvvm njm fvahnf nak bjcnujmfvb ngu jbmjfhegtuecgyhmajncxbgydndjn mu

Số hạng thứ n là \(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)

Tổng 2 số liên tiếp của dãy là \(\frac{n\left(n+1\right)}{2}+\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left(2n+2\right)}{2}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left(n+1\right).2}{2}\)

\(=\left(n+1\right)^2\)

Do đó tổng 2 số liên tiếp của dãy là số chính phương.

4m²+m=5n²+n

{=}5m²+m=5n²+n+m²

{=}5(m²-n²)+(m-n)=m²

{=}(m-n)(5m+5n+1)=m²

là sao