Ta có :

\(A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=\frac{\sqrt{x}-3+4}{\sqrt{x}-3}=1+\frac{4}{\sqrt{x}-3}\)

để A nguyên thì \(\frac{4}{\sqrt{x}-3}\)nguyên

\(\Rightarrow\)4 \(⋮\)\(\sqrt{x}-3\)

\(\Rightarrow\)\(\sqrt{x}-3\)\(\in\)Ư ( 4 ) = { 1 ; -1 ; 2 ; -2 ; 4 ; -4 }

Lập bảng ta có :

Vậy ...

a) Gọi biểu thức trên là A.

 \(ĐK:x\ge0\). Ta có: \(A=\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\frac{3}{\sqrt{x}+1}\) (1)

Để \(x\in Z\) thì \(\frac{3}{\sqrt{x}+1}\in Z\Leftrightarrow\sqrt{x}+1\inƯ\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}=\left\{0;-2;2;-4\right\}\) nhưng do không có căn bậc 2 của số âm nên:

\(\sqrt{x}\in\left\{0;2\right\}\Leftrightarrow x\in\left\{0;4\right\}\). Thay vào (1) để thử lại ta thấy chỉ có x = 0 thỏa mãn.

Vậy có 1 nghiệm là x = 0

b) Gọi biểu thức trên là B. ĐK: \(x\ge0\)

\(B=\frac{2\left(\sqrt{2}-5\right)}{\sqrt{x}+1}=\frac{2\sqrt{2}-10}{\sqrt{x}+1}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x}+1}-\frac{10}{\sqrt{x}+1}\)

Để \(x\in Z\) thì \(\frac{10}{\sqrt{x}+1}\in Z\Leftrightarrow\sqrt{x}+1\inƯ\left(10\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm5;\pm10\right\}\)

Đến đây bạn tiếp tục lập bảng tìm \(\sqrt{x}\) rồi bình phương tất cả các giá trị của \(\sqrt{x}\) để tìm được các giá trị của x nhé!. Nhưng lưu ý rằng làm xong phải thử lại bằng cách thế vào B để tìm nghiệm chính xác nhất nhé!

c) Tương tự như trên,bạn tự làm

d) Tương tự như câu a),bạn tự làm. Mình lười òi =))

a)\(A=\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+3}=\frac{\sqrt{x}+3-8}{\sqrt{x}+3}=1-\frac{8}{\sqrt{x}+3}\)

 \(A=-1\Leftrightarrow1-\frac{8}{\sqrt{x}+3}=-1\)

\(\Leftrightarrow\frac{8}{\sqrt{x}+3}=2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+3=4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=1\)

\(\Leftrightarrow x=1\)

Vậy A = -1 \(\Leftrightarrow x=1\)

b) \(A=1-\frac{8}{\sqrt{x}+3}\)

\(A\inℤ\Leftrightarrow\frac{8}{\sqrt{x}+3}\inℤ\)hay \(8⋮\left(\sqrt{x}+3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+3\right)\inƯ\left(8\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm3;\pm4\right\}\)

Mà \(\sqrt{x}+3\ge3\)nên\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+3\right)\in\left\{3;4\right\}\)

\(TH1:\sqrt{x}+3=3\Leftrightarrow\sqrt{x}=0\Leftrightarrow x=0\)

\(TH2:\sqrt{x}+3=4\Leftrightarrow\sqrt{x}=1\Leftrightarrow x=1\)

Vậy \(x\in\left\{0;1\right\}\)thì A nguyên

\(a)\)  Ta có : \(A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{x}-1+2}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}+\frac{2}{\sqrt{x}-1}=1+\frac{2}{\sqrt{x}-1}\)

Thay \(x=\frac{16}{9}\) vào \(A=1+\frac{2}{\sqrt{x}-1}\) ta được : 

\(A=1+\frac{2}{\sqrt{\frac{16}{9}}-1}=1+\frac{2}{\sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2}-1}=1+\frac{2}{\frac{4}{3}-1}=1+\frac{2}{\frac{1}{3}}=1+6=7\)

Vậy giá trị của \(A=7\) khi \(x=\frac{16}{9}\)

Thay \(x=\frac{25}{9}\) vào \(A=1+\frac{2}{\sqrt{x}-1}\) ta được : 

\(A=1+\frac{2}{\sqrt{\frac{25}{9}}-1}=1+\frac{2}{\sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^2}-1}=1+\frac{2}{\frac{5}{3}-1}=1+\frac{2}{\frac{2}{3}}=1+3=4\)

Vậy giá trị của \(A=4\) khi \(x=\frac{25}{9}\)

\(b)\) Để \(A=5\) thì \(1+\frac{2}{\sqrt{x}-1}=5\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{2}{\sqrt{x}-1}=4\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{\sqrt{x}-1}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\)\(\sqrt{x}-1=2\)

\(\Rightarrow\)\(\sqrt{x}=3\)

\(\Rightarrow\)\(x=3^2\)

\(\Rightarrow\)\(x=9\)

Vậy để \(A=5\) thì \(x=9\)

\(c)\) Để \(A\inℤ\) thì \(1+\frac{2}{\sqrt{x}-1}\inℤ\)

\(\Rightarrow\)\(2⋮\left(\sqrt{x}-1\right)\)

\(\Rightarrow\)\(\left(\sqrt{x}-1\right)\inƯ\left(2\right)\)

Mà \(Ư\left(2\right)=\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

Suy ra : 

Vậy để \(A\inℤ\) thì \(x\in\left\{0;1;4;9\right\}\)

Chúc bạn học tốt ~