a)Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p,q) thỏa mãn \(p^2-5q^2=4\)

b) Cho đa thức \(f\left(x\right)=x^2+bx+c\). Biết b,c là các số dương và f(x) có nghiệm. Chứng minh \(f\left(2\right)\ge9\sqrt[3]{c}\)

cho \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\) là đa thức bậc 2 với các hệ số  b,c∈R giả sử phương trình \(f\left(f\left(x\right)\right)=0\)có bốn nghiệm thực (không cần phân biệt ) , được kí hiệu bởi \(x_1,x_2,x_3,x_4\)biết \(x_1+x_2=-1\)CMR \(c\le\frac{1}{4}\)

Cho đa thức \(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\)

Với a là số nguyên dương, biết f(5)-f(4)=2012.Chứng minh f(7)-f(2) là hợp số

Bài 1 Cho \(f\left(x\right)=x^2+bx+c\) Tìm a và b biết

a) \(f\left(1\right)=2\); \(f\left(-3\right)=0\)

b) \(f\left(x\right)\) có nghiệm là 3;-6

Bài 2 Với giá trị nào của tham số m thì

\(\hept{\begin{cases}x+y=m+2\\3x+5y=2m\end{cases}}\) có nghiệm nguyên

Cho đa thức

\(f\left(x\right)=x^4+bx^3+cx^2+dx+43\) có \(f\left(0\right)=f\left(-1\right);f\left(1\right)=f\left(-2\right);f\left(2\right)=f\left(-3\right)\).

a/ Tìm b,c,d

b/ Với b,c,d=1 vừa tìm được, hãy tìm tất cả các số nguyên n sao cho \(f\left(n\right)=n^4+bn^3+cn^2+n+43\) là số chình phương

cho \(f\left(x\right)=x^2+ax+c\)là đa thức bậc 2 với các hệ số  \(b,c\in R\)giả sử phương trình \(f\left(f\left(x\right)\right)=0\)có bốn nghiệm thực (không cần phân biệt ) , được kí hiệu bởi \(x_1,x_2,x_3,x_4\)biết \(x_1+x_2=-1\)CMR : \(c\le\frac{1}{4}\)

Cho phương trình: f(x)=ax²+bx+c=0, trong đó a,b,c là các số nguyên và a>0, có 2 nghiệm phân biệt trong khoảng (0,1). Tìm GTNN của a

Cho hàm số y =f(x)=ax+b. Biết \(f\left(3\right)\le f\left(1\right)\le f\left(2\right)\)và f(4)=2. Chứng minh rằng: a=0 và f(0)=2

cho a, b, c, d là các số thực thoả mãn: \(b+d\ne0\)và \(\frac{ac}{b+d}\ge2\). chứng minh rằng phương trình \(\left(x^2+ax+b\right)\left(x^2+cx+d\right)=0\) (x là ẩn) luôn có nghiệm