Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)
\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\) (1)
áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)
(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\) <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\) ( vậy (1) đúng)
dấu '=' khi a=b=c
\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=1+\frac{a}{b}+1+\frac{b}{a}=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)
Vì a,b>0 nên \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}>=2=>2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}>=4\). Do vậy ta có đpcm
b/\(\frac{2a}{b+c}+\frac{b+c}{2a}>=2\) vì 2a/b+c>0, b+c/2a>0 (a,b,c>0) nên ta có đpcm
c/\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)
Mình xem phép làm câu 1 ạ.
Đề là?
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\)(1)
Chứng minh tương đương
\(\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\ge4\)<=> 12ac - 9bc - 9ab + 6b2 \(\le\)0 ( quy đồng ) (2)
Từ (1) <=> 2ac = ab + bc Thay vào (2) <=> 6ab + 6bc - 9bc - 9ab + 6b2 \(\le\)0
<=> a + c \(\ge\)2b
Từ (1) => \(\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+c}\)
=> a + c \(\ge\)2b đúng => BĐT ban đầu đúng
Dấu "=" xảy ra <=> a = c = b
\(\frac{a+c}{ac}=\frac{2}{b}\) => \(b=\frac{2ac}{a+c}\) thay vào BĐT cần chứng minh, ta được:
\(\frac{a+\frac{2ac}{a+c}}{2a-\frac{2ac}{a+c}}+\frac{c+\frac{2ac}{a+c}}{2c-\frac{2ac}{a+c}}=\frac{a^2+3ac}{2a^2}+\frac{c^2+3ac}{2c^2}\)
\(=\frac{2a^2c^2+3a^3c+3ac^3}{2a^2c^2}\ge4\)
<=> 3a3c-6a2c2+3ac3 ≥ 0
<=> 3ac(a-c)2 ≥ 0 luôn đúng ∀ a,c > 0
Vậy BĐT được chứng minh, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=c; b≠0
a) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM :
\(\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+1\right)\ge2\sqrt{a^2b^2}.2\sqrt{a^2}\ge2ab.2a=4a^2b\)
b) Áp dụng bất đẳng thức :\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\forall x;y>0\)
\(\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+2c+a}\ge\frac{4}{a+3b+b+2c+a}=\frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}\)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+2a+b}\ge\frac{2}{b+2c+a}\\\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{a+2b+c}\ge\frac{2}{b+2a+c}\end{cases}}\)
Cộng vế với vế ta được : \(VT+VP\ge2VP\Rightarrow VT\ge VP\)(đpcm)
tham khảo nhé :)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\)\(\Leftrightarrow\frac{a+c}{ac}=\frac{2}{b}\)\(\Leftrightarrow b=\frac{2ac}{a+c}\)
Ta có : \(\frac{a+b}{2a-b}=\frac{a+\frac{2ac}{a+c}}{2a-\frac{2ac}{a+c}}=\frac{a\left(a+3c\right)}{2a^2}=\frac{a+3c}{2a}\)
tương tự : \(\frac{b+c}{2c-b}=\frac{c+3a}{2c}\)
\(\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}=\frac{a+3c}{2a}+\frac{c+3a}{2c}=\frac{2ac+3\left(a^2+c^2\right)}{2ac}\ge\frac{2ac+3.2ac}{2ac}=\frac{8ac}{2ac}=4\)