Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Ta có:
\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right):\left(\frac{1}{x+y+z}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow \frac{xy+yz+xz}{xyz}.(x+y+z)=1\Leftrightarrow (xy+yz+xz)(x+y+z)=xyz\)
\(\Leftrightarrow xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)+2xyz=0\)
\(\Leftrightarrow xy(x+y+z)+yz(y+z+x)+xz(x+z)=0\)
\(\Leftrightarrow y(x+y+z)(x+z)+xz(x+z)=0\)
\(\Leftrightarrow (x+z)[y(x+y+z)+xz]=0\)
\(\Leftrightarrow (x+z)(y+x)(y+z)=0\)
Do đó:
\(B=(x+y)(x^{20}+....+y^{20})(y+z)(y^{10}+...+z^{10})(z+x)(z^{2016}+x^{2016})\)
\(=(x+y)(y+z)(x+z)(x^{20}+..+y^{20})(y^{10}+..+z^{10})(z^{2016}+x^{2016})=0\)
Lời giải:
Ta có:
\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right):\left(\frac{1}{x+y+z}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow \frac{xy+yz+xz}{xyz}.(x+y+z)=1\Leftrightarrow (xy+yz+xz)(x+y+z)=xyz\)
\(\Leftrightarrow xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)+2xyz=0\)
\(\Leftrightarrow xy(x+y+z)+yz(y+z+x)+xz(x+z)=0\)
\(\Leftrightarrow y(x+y+z)(x+z)+xz(x+z)=0\)
\(\Leftrightarrow (x+z)[y(x+y+z)+xz]=0\)
\(\Leftrightarrow (x+z)(y+x)(y+z)=0\)
Do đó:
\(B=(x+y)(x^{20}+....+y^{20})(y+z)(y^{10}+...+z^{10})(z+x)(z^{2016}+x^{2016})\)
\(=(x+y)(y+z)(x+z)(x^{20}+..+y^{20})(y^{10}+..+z^{10})(z^{2016}+x^{2016})=0\)
Từ giả thiết ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+y=0\) hoặc \(y+z=0\) hoặc \(z+x=0\)
+) Nếu x + y = 0 hoặc z + x = 0 thì ta không tính được giá trị biểu thức.
+) Nếu y + z = 0 thì \(y=-z\Leftrightarrow y^{2017}=-z^{2017}\Leftrightarrow y^{2017}+z^{2017}=0\)
Suy ra \(\left(x^{2016}+y^{2016}\right)\left(y^{2017}+z^{2017}\right)\left(x^{2018}+z^{2018}\right)=0\)
Ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{z\left(x+y+z\right)}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow x+y=0\) hoặc \(y+z=0\) hoặc \(z+x=0\)
Tới đây bạn tự làm được rồi ^^
1) \(E^2=\frac{x^2-2xy+y^2}{x^2+2xy+y^2}=\frac{2\left(x^2+y^2\right)-4xy}{2\left(x^2+y^2\right)+4xy}=\frac{5xy-4xy}{5xy+4xy}=\frac{xy}{9xy}=\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow E=\frac{1}{3}\)(vì x>y>0)
2) Ta có \(x+y+z=0\Rightarrow x+y=1-z\)
Lại có : \(1=\left(x+y+z\right)^2=1+2\left(xy+yz+xz\right)\Rightarrow2xy+2yz+2xz=0\Rightarrow2xy=-2z\left(x+y\right)=-2z\left(1-z\right)\)Thay vào \(x^2+y^2+z^2=1\) được :
\(\left(x+y\right)^2-2xy+z^2=1\)\(\Leftrightarrow\left(1-z\right)^2-2z\left(1-z\right)+z^2=1\Leftrightarrow4z^2-4z=0\Leftrightarrow z\left(z-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}z=0\\z=1\end{cases}}\)
Với z = 0 => x + y = 1 và x2+y2 = 1 => x = 0 , y = 1 hoặc x = 1 , y =0
=> A = 1
Tương tự với z = 1 , ta cũng có x = 0 , y = 0 => A = 1
Lời giải:
Ta có:
\(x^2+2y+1=y^2+2z+1=z^2+2x+1=0\)
\(\Rightarrow x^2+2y+1+y^2+2z+1+z^2+2x+1=0+0+0=0\)
\(\Leftrightarrow (x^2+2x+1)+(y^2+2y+1)+(z^2+2z+1)=0\)
\(\Leftrightarrow (x+1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2=0(*)\)
Ta thấy rằng \(\left\{\begin{matrix} (x+1)^2\geq 0\\ (y+1)^2\geq 0\\ (z+1)^2\geq 0\end{matrix}\right., \forall x,y,z\in\mathbb{R}\)
Do đó để $(*)$ xảy ra thì \((x+1)^2=(y+1)^2=(z+1)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x=y=z=-1\)
Thử lại thấy thỏa mãn
Vậy \(x^{2017}+y^{2017}+z^{2017}=(-1)^{2017}.3=-3\)
Ta có:
\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\)
Áp dụng BĐT Cosi ta có:
\(x\sqrt{1-x^2}\le\dfrac{x^2+1-x^2}{2}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\ge2x^3\)
Cmtt:
\(\dfrac{y^3}{y\sqrt{1-y^2}}\ge2y^3\)
\(\dfrac{z^3}{z\sqrt{1-z^2}}\ge2z^3\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}=\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y^3}{y\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{z^3}{z\sqrt{1-z^2}}\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)=2\) (ĐPCM)
Thế \(x=1-y-z\) vào
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{1-y-z}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\)
\(\Leftrightarrow yz^2+y^2z-y^2-z^2-2yz+y+z=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(z-1\right)\left(z+y\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\\z=1\\z=-y\end{matrix}\right.\)
Với \(y=1\Rightarrow x=-z\)
Thế vô được: \(M=x^{2017}+y^{2017}+z^{2017}=1\)
Tương tự cho 2 trường hợp còn lại.