Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bất đẳng thức Mincopski
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)
Chứng minh rằng : \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+9\ge6\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2+9}{x+y+z}\ge6\)
\(\Leftrightarrow x+y+z+\frac{9}{x+y+z}\ge6\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow x+y+z+\frac{9}{x+y+z}\ge2\sqrt{\frac{9\left(x+y+z\right)}{x+y+z}}=2\sqrt{9}=6\left(đpcm\right)\)
Vậy \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)
Mà \(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\left(đpcm\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Chúc bạn học tốt !!!
Áp dụng bất đẳng thức Mincopski
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)
Chứng minh rằng : \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+9\ge6\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow x+y+z+\frac{9}{x+y+z}\ge6\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow x+y+z+\frac{9}{x+y+z}\ge2\sqrt{\frac{9\left(x+y+z\right)}{x+y+z}}=2\sqrt{9}=6\left(đpcm\right)\)
Vậy \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)
Mà \(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\left(đpcm\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Chúc bạn học tốt !!!
Áp dụng bất đẳng thức Mincopski
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)
Chứng minh rằng \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+9\ge6\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+y+z\right)^2+9}{x+y+z}\ge6\)
\(\Leftrightarrow x+y+z+\dfrac{9}{x+y+z}\ge6\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow x+y+z+\dfrac{9}{x+y+z}\ge2\sqrt{\dfrac{9\left(x+y+z\right)}{x+y+z}}=2\sqrt{9}=6\) ( đpcm )
Vậy \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)
Mà \(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Lời giải:
Ta thấy:
\(x^2+xy+y^2=\frac{3}{4}(x^2+2xy+y^2)+\frac{1}{4}(x^2-2xy+y^2)=\frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2\)
\(\geq \frac{3}{4}(x+y)^2\) với mọi $x,y>0$
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+xy+y^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(x+y)\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\sqrt{y^2+yz+z^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(y+z); \sqrt{z^2+zx+x^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(x+z)\)
Cộng theo vế các BĐT trên và rút gọn:
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+xz+x^2}\geq \sqrt{3}(x+y+z)\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$
BĐT cần chứng minh tương đương
\(VT\ge4\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{\left(y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}{x}\ge4\left(x+y+z\right)\)
Theo BĐT Cauchy-Schwarz và AM-GM, ta có:
\(\sum\dfrac{\left(y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}{x}\ge\dfrac{\left(y+z\right)\left(x+\sqrt{yz}\right)}{x}=y+z+\dfrac{\left(y+z\right)\sqrt{yz}}{x}\ge y+z+\dfrac{2yz}{x}\)
Suy ra: \(\sum\dfrac{\left(y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}{x}\ge2\left(x+y+z\right)-2\left(\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{xy}{z}\right)\)
Mặt khác, theo AM-GM:
\(\left(\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{xy}{z}\right)^2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{xy}{z}\ge x+y+z\)
\(\Rightarrow\sum\dfrac{\left(y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}{x}\ge4\left(x+y+z\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\)
@Phương An
Với x, y, z dương, ta cần chứng minh: \(\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}\)\(\ge\sqrt{3}\left(x+y+z\right)\)(1)
Phân tích: Trong BĐT (1), các biến được hoán vị vòng quanh và đẳng thức xảy ra khi x = y = z. Ta chọn được các số n, m để có bất đẳng thức \(\sqrt{x^2+xy+y^2}\ge nx+my\)(2)
Tương tự rồi cộng theo vế, ta được: \(\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}\)\(\ge\left(m+n\right)\left(x+y+z\right)\)
Nhìn vào BĐT cần chứng minh ta thấy nếu tìm được cặp (n,m) thì lời giải thành công. Thế \(m=\sqrt{3}-n\)vào (2), ta có:
\(\sqrt{x^2+xy+y^2}\ge nx+\left(\sqrt{3}-n\right)y\)\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\frac{x}{y}\right)^2+\left(\frac{x}{y}\right)+1}\ge n.\left(\frac{x}{y}\right)+\left(\sqrt{3}-n\right)\)(3)
Đặt \(t=\frac{x}{y}\)BĐT (3) trở thành \(\sqrt{t^2+t+1}\ge nt+\sqrt{3}-n\)(4)
Do đẳng thức xảy ra khi x = y nên t = 1 ta phân tích (4) về nhân tử (t - 1)
Ta có: \(\left(4\right)\Leftrightarrow\left(\sqrt{t^2+t+1}-\sqrt{3}\right)-n\left(t-1\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left[\frac{t+2}{\sqrt{t^2+1+1}+\sqrt{3}}-n\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow n\le\frac{t+2}{\sqrt{t^2+t+1}+\sqrt{3}}\). Đồng nhất t = 1, ta được: \(n=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow m=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Lúc đó ta có BĐT phụ: \(\sqrt{x^2+xy+y^2}\ge\frac{\sqrt{3}x+\sqrt{3}y}{2}\)
Giải: Xét BĐT phụ \(\sqrt{x^2+xy+y^2}\ge\frac{\sqrt{3}x+\sqrt{3}y}{2}\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)*đúng*
Tương tự cho các BĐT còn lại, ta được: \(\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}\)
\(\ge\frac{\sqrt{3}\left(x+y+z\right)+\sqrt{3}\left(x+y+z\right)}{2}=\sqrt{3}\left(x+y+z\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z.
Thật ra bài này không cần giãi kĩ như mình đây, bước đầu là bước nháp của mình, ghi luôn để các bạn hiểu tại sao lại có BĐT phụ thế kia
Nhưng bạn có thể làm 1 cách dễ hơn mà ko cần phải bỏ nhiều công sức nháp
Có: \(\sqrt{x^2+xy+y^2}=\sqrt{\left(x+y\right)^2-xy}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y\right)^2-\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}\left(x+y\right)}{2}\)
Đến đây tương tự rồi cộng lại, Done.
Ta có: \(x^2\left(y+z\right)\ge x^2.2\sqrt{yz}=2\sqrt{x^4}.\sqrt{\frac{1}{x}}=2x\sqrt{x}\)(Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số dương y,z và sử dụng giả thiết xyz = 1)
Hoàn toàn tương tự: \(y^2\left(z+x\right)\ge2y\sqrt{y};z^2\left(x+y\right)\ge2z\sqrt{z}\)
Do đó \(P=\frac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
\(\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(a=x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}\), \(b=y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}\), \(c=z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}\)
Suy ra: \(x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9}\), \(y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9}\), \(z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}\)
Do đó \(P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{4c+a-2b}{b}+\frac{4a+b-2c}{c}+\frac{4b+c-2a}{a}\right)\)
\(=\frac{2}{9}\left[4\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-6\right]\)
\(\ge\frac{2}{9}\left[4.3\sqrt[3]{\frac{c}{b}.\frac{a}{c}.\frac{b}{a}}+3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}-6\right]\)(Áp dụng BĐT Cô - si cho 3 số dương)
\(=\frac{2}{9}\left[4.3+3-6\right]=2\)
Vậy \(P\ge2\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
\(x^2+y^2+z^2\)
\(=\frac{x^2+y^2}{2}+\frac{y^2+z^2}{2}+\frac{z^2+x^2}{2}\)
\(\ge xy+yz+zx\)
\(=\frac{xy+yz}{2}+\frac{yz+zx}{2}+\frac{zx+xy}{2}\)
\(\ge\frac{2\sqrt{xy^2z}}{2}+\frac{2\sqrt{xyz^2}}{2}+\frac{2\sqrt{x^2yz}}{2}\)
\(=\sqrt{xyz}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)