Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)
\(a^2+b^2+c^2+d^2+m^2-a(b+c+d+m)\)
\(=\frac{4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4m^2-4a(b+c+d+m)}{4}\)
\(=\frac{(a^2+4b^2-4ab)+(a^2+4c^2-4ac)+(a^2+4d^2-4ad)+(a^2+4m^2-4am)}{4}\)
\(=\frac{(a-2b)^2+(a-2c)^2+(a-2d)^2+(a-2m)^2}{4}\geq 0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=2b=2c=2d=2m\)
b)
Xét hiệu
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}=\frac{x+y}{xy}-\frac{4}{x+y}=\frac{(x+y)^2-4xy}{xy(x+y)}\)
\(=\frac{x^2+y^2-2xy}{xy(x+y)}=\frac{(x-y)^2}{xy(x+y)}\geq 0, \forall x,y>0\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y$
c)
Xét hiệu:
\((a^2+c^2)(b^2+d^2)-(ab+cd)^2\)
\(=(a^2b^2+a^2d^2+c^2b^2+c^2d^2)-(a^2b^2+2abcd+c^2d^2)\)
\(=a^2d^2-2abcd+b^2c^2=(ad-bc)^2\geq 0\)
\(\Rightarrow (a^2+c^2)(b^2+d^2)\geq (ab+cd)^2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(ad=bc\)
d)
Xét hiệu:
\(a^2+b^2-(a+b-\frac{1}{2})=a^2+b^2-a-b+\frac{1}{2}\)
\(=(a^2-a+\frac{1}{4})+(b^2-b+\frac{1}{4})\)
\(=(a-\frac{1}{2})^2+(b-\frac{1}{2})^2\geq 0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\geq a+b-\frac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Bài 1:
\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2-2ab-2a-2b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)
Bài 2:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2=1^2=1\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
Bài 3:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(4+1\right)\left(4x^2+y^2\right)\ge\left(4x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow5\left(4x^2+y^2\right)\ge\left(4x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow5\left(4x^2+y^2\right)\ge\left(4x+y\right)^2=1^2=1\)
\(\Rightarrow4x^2+y^2\ge\dfrac{1}{5}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{5}\)
bài 1 mình thấy sao sao ý !!
đề bài là với mọi a,b,c tùy ý và chứng minh chứ bạn làm là khai thác ý cần chứng minh để chỉ ra điều kiện mà
1) 2( a2 + b2 ) ≥ ( a + b)2
<=> 2a2 + 2b2 - a2 - 2ab - b2 ≥ 0
<=> a2 - 2ab + b2 ≥ 0
<=> ( a - b )2 ≥ 0 ( luôn đúng )
=> đpcm
2) Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương x , y , ta có :
a + b ≥ \(2\sqrt{ab}\)
=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ 2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)
=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ) ≥ \(2\sqrt{xy}\)2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)
=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\)) ≥ 4
=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ \(\dfrac{4}{x+y}\)
Ta có:(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2
=>a2x2+a2y2+a2z2+b2x2+b2y2+b2z2+c2x2+
c2y2+c2z2=a2x2+b2y2+c2z2+2axby+2axcz+
2bycz
=>a2y2+a2z2+b2x2+b2z2+c2x2+c2y2-2axby-2axcz-2bycz=0
=>(a2y2-2axby+b2x2)+(a2z2-2axcz+c2x2)+
(b2z2-2bycz+c2y2)=0
=>(ay-bx)2+(az-cx)2+(bz-cy)2=0
Vì (ay-bx)2\(\ge0\);(az-cx)2\(\ge0\);(bz-cy)2\(\ge0\)
nên =>(ay-bx)2+(az-cx)2+(bz-cy)2\(\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi:\(\left\{{}\begin{matrix}ay-bx=0\\az-cx=0\\bz-cy=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}ay=bx\\az=cx\\bz=cy\end{matrix}\right.\)=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\\\dfrac{a}{x}=\dfrac{c}{z}\\\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\end{matrix}\right.\)=>\(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\)(x;y;z\(\ne0\))
cái chỗ dấu = xảy ra khi... cậu viết rõ hơn đc k? tớ ms vào nên k biết kí hiệu này lắm
1. Đặt : x = a + \(\dfrac{1}{3}\) ; y = b + \(\dfrac{1}{3}\) ; z = \(c+\dfrac{1}{3}\)
Ta có : x + y + z = 1
⇒ a + b + c = 0
Ta có : x2 + y2 + z2 = ( a + \(\dfrac{1}{3}\))2 + ( b + \(\dfrac{1}{3}\))2 + ( c + \(\dfrac{1}{3}\))2
= a2 + \(\dfrac{2}{3}a+\dfrac{1}{9}+b^2+\dfrac{2}{3}b+\dfrac{1}{9}+c^2+\dfrac{2}{3}c+\dfrac{1}{9}\)
= \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)+a^2+b^2+c^2\)
= \(\dfrac{1}{3}+a^2+b^2+c^2\) ≥ \(\dfrac{1}{3}\)
Dâu "=" xảy ra khi và chỉ khi : a = b = c = 0 ⇔ x = y = z = \(\dfrac{1}{3}\)
a) \(\text{ }x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4-x^3y-xy^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)(ĐPCM)
*NOTE: chứng minh đc vì (x-y)^2 >= 0 ; x^2 +xy +y^2 > 0
mình cũng làm đến nơi rồi nhưng sợ x^2+xy+y^2 chưa chắc lớn hơn 0 thanks bạn nhé
\(x^2+y^2\ge2xy\\ \Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge\left(x+y\right)^2\\ \Leftrightarrow x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
đẳng thức xảy ra khi x=y
1a)\(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
b)\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{9}\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
2a)\(a^2+\dfrac{b^2}{4}\ge ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-ab+\dfrac{b^2}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2\cdot\dfrac{1}{2}b\cdot a+\left(\dfrac{1}{2}b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\dfrac{1}{2}b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
b)Đã cm
c)\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
\(x+y=1\)
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:
\(\dfrac{x^2}{1}+\dfrac{y^2}{1}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}=\dfrac{1^2}{2}=\dfrac{1}{2}\)
--> \(x^2+y^2\ge\dfrac{1}{2}\)