a, mệnh đề đúng 

b, mệnh đề sai 

c, mệnh đề đúng 

Lời giải

Giả sử: \(\sqrt{2}\) và \(\sqrt{3}\) là các số hữu tỉ

Khi đó: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}\\\sqrt{3}=\dfrac{x}{y}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a^2}{b^2}=2\\\dfrac{x^2}{y^2}=3\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}a^2=2b^2\\x^2=3y^2\end{matrix}\right.\) nên \(\left\{{}\begin{matrix}a^2⋮2\\x^2⋮3\end{matrix}\right.\)

Như vậy \(\left\{{}\begin{matrix}b^2⋮2\\y^2⋮3\end{matrix}\right.\) để có thể thỏa mãn điều kiện trên

Vậy \(\sqrt{2}\) và \(\sqrt{3}\) là số vô tỉ

kkk vẫn còn hoạt động luôn à

cho \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ, khi đó \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\)

\(\Rightarrow\)2=\(\frac{m^2}{n^2}\)

\(\Rightarrow\)2\(n^2=m^2\)

\(\Rightarrow\)\(m^2⋮n^2\Leftrightarrow m⋮n\)

\(\Rightarrow\)giả sử là vô lý

\(\Rightarrow\)\(\sqrt{2}\)là số vô tỉ

a) Gọi D là điều kiện xác định của biểu thức vế trái D = [- 8; +∞]. Vế trái dương với mọi x ∈ D trong khi vế phải là số âm. Mệnh đề sai với mọi x ∈ D. Vậy bất phương trình vô nghiệm.

b) Vế trái có ≥ 1 ∀x ∈ R,

≥ 1 ∀x ∈ R

=> + ≥ 2 ∀x ∈ R.

Mệnh đề sai ∀x ∈ R. Bất phương trình vô nghiệm.

c) ĐKXĐ: D = [- 1; 1]. Vế trái âm với mọi x ∈ D trong khi vế phải dương.

a) Là một mệnh đề

b) Là một mệnh đề chứa biến

c) Không là mệnh đề, không là mệnh đề chứa biến

d) Là một mệnh đề

b

Do p là số nguyên tố nên không là số chính phương nên trong phân tích ra thừa số nguyên tố của p có ít nhất một thừa số với số mũ lẻ, viết p=m^2.k với k không chia hết cho số chính phương nào, dễ thấy p chia hết k.

Vậy Căn (p) = m.Căn (k) do đó chỉ cần chứng minh Căn (k) vô tỷ.
Bây giờ giả sử Căn (k) = a/b với (a,b) = 1 => k.b^2 = a^2
=> p chia hết a^2, vì p nguyên tố nên p chia hết a, dẫn đến p^2 chia hết a^2.
Như vậy b^2 phải chia hết cho p vì k không chia hết cho p^2, dẫn đến p chia hết b, điều này chứng tỏ (a,b) = p > 1. (Mâu thuẫn)

Tóm lại Căn (k) là vô tỷ, nói cách khác Căn (n) vô tỷ.

Vì p là số nguyên tố => p ko là số chính phương

Giả sử \(\sqrt{p}\) là số hữu tỉ thì \(\sqrt{p}\) vt đc dưới dạng

\(\sqrt{p}=\frac{m}{n}\) với \(m,n\in N;n\ne0;\left(m,n\right)=1\)

Vì p ko là số chính phương nên \(\frac{m}{n}\) ko là số tự nhiên

=> n > 1

+ \(\sqrt{p}=\frac{m}{n}\Rightarrow m^2=n^2p\)

\(\Rightarrow m^2⋮n^2\) ( do p là số tự nhiên )

goi a là một ước nguyên tố nào đó của n

\(\Rightarrow m^2⋮a\Rightarrow m⋮a\)

=> a là ước nguyên tố của m và n ( trái với \(\left(m,n\right)=1\) )

Do đó \(\sqrt{p}\) là số vô tỉ