Khá đơn giản!

Ta có: \(x+y+z=0\)

=> \(\left(x+y+z\right)^2=0\)

<=> \(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=0\) (1)

Thay (1) vào A ta được:

A = \(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}\)

= \(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\right)}\)

= \(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{1}{3}\)

\(1)\left( {4 + \sqrt {15} } \right)\left( {\sqrt {10} - \sqrt 6 } \right)\left( {\sqrt {4 - \sqrt {15} } } \right)\\ = \left( {4\sqrt {10} - 4\sqrt 6 + \sqrt {150} - \sqrt {90} } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \\ = \left( {4\sqrt {10} - 4\sqrt 6 + 5\sqrt 6 - 3\sqrt {10} } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \\ = \left( {\sqrt {10} + \sqrt 6 } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \\ = \sqrt {10\left( {4 - \sqrt {15} } \right)} + \sqrt {6\left( {4 - \sqrt {15} } \right)} \\ = \sqrt {40 - 10\sqrt {15} } + \sqrt {24 - 6\sqrt {15} } \\ = \sqrt {{{\left( {5 - \sqrt {15} } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt {15} } \right)}^2}} \\ = 5 - \sqrt {15} + \sqrt {15} - 3 = 2\)

2) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có

\(\dfrac{{{x^2}}}{{y + z}} + \dfrac{{y + z}}{4} \ge 2\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{{y + z}}.\dfrac{{y + z}}{4}} = x(1)\)

Hoàn toàn tương tự:

\(\dfrac{{{y^2}}}{{z + x}} + \dfrac{{z + x}}{4} \ge y\left( 2 \right)\\ \dfrac{{{z^2}}}{{x + y}} + \dfrac{{x + y}}{4} \ge z\left( 3 \right) \)

Từ (1), (2), (3) ta có ngay:\(\left(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y+z}{4}\right)+ \left(\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z+x}{4}\right)+\left( \dfrac{z^2}{x+y} +\dfrac{x+y}{4}\right)\geqslant x+y+z\\ \iff\dfrac{x^2}{y+z}+ \dfrac{y^2}{z+x}+ \dfrac{z^2}{x+y}\geqslant \dfrac{x+y+z}{2} \)

Chú ý rằng \(x+y+z=2\), ta có ngay\(\dfrac{x^2}{y+z}+ \dfrac{y^2}{z+x}+ \dfrac{z^2}{x+y}\geqslant 1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $1$, đạt được khi $x=y=z=\dfrac{2}{3}$.

Haizzz bị lỗi công thức suốt :((

Đây là lời giải của mình bên đó nhé.

Nên ko tặng GP đâu:))

\(\dfrac{bc\left(y-z\right)^2+ac\left(x-z\right)^2+ab\left(x-y\right)^2}{ax^2+by^2+cz^2}\)

\(=\dfrac{bcy^2+bcz^2+acx^2+acz^2+abx^2+aby^2-2\left(bcyz+acxz+abxy\right)}{ax^2+by^2+cz^2}\)

\(=\dfrac{bcy^2+bcz^2+acx^2+acz^2+abx^2+aby^2+a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2-a^2x^2-b^2y^2-c^2z^2-2\left(bcyz+acxz+abxy\right)}{ax^2+by^2+cz^2}\)

\(=\dfrac{ax^2\left(a+b+c\right)+by^2\left(a+b+c\right)+cz^2\left(a+b+c\right)-\left(ax+by+cz\right)^2}{ax^2+by^2+cz^2}\)

\(=\dfrac{\left(ax^2+by^2+cz^2\right)\left(a+b+c\right)}{ax^2+by^2+cz^2}=a+b+c\)