\(A=1+3+3^2+...+3^{59}\\ =\left(1+3+3^2+3^3+3^4+3^5\right)+\left(3^6+3^7+3^8+3^9+3^{10}+3^{11}\right)+...+\left(3^{54}+3^{55}+3^{56}+3^{57}+3^{58}+3^{59}\right)\\ =1\left(1+3+3^2+3^3+3^4+3^5\right)+3^6\left(1+3+3^2+3^3+3^4+3^5\right)+...+3^{54}\left(1+3+3^2+3^3+3^4+3^5\right)\\ =\left(1+3+3^2+3^3+3^4+3^5\right)\left(1+3^6+...+3^{54}\right)\\ =364\left(1+3^6+...+3^{54}\right)\\ =4\cdot13\cdot7\left(1+3^6+...+3^{54}\right)\text{ chia hết cho 4 và 13}\)

a) \(\left(6x-5y\right)^2=36x^2-60xy+25y^2\)

b) \(\left(4x-1\right)^2=16x^2-8x+1\)

c) \(\left(x+2\right)^2=x^2+4x+4\)

d) \(x^2-64=\left(x-8\right)\left(x+8\right)\)

e) \(4x^2-64=\left(2x-8\right)\left(2x+8\right)\)

f) \(25x^2-4=\left(5x-2\right)\left(5x+2\right)\)

g) \(\left(x+1\right)^3=x^3+3x^2+3x+1\)

h) \(\left(x-3\right)^3=x^3-9x^2+27x-27\)

k) \(x^3+8=\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)\)

l) \(x^3-125=\left(x-5\right)\left(x^2+5x+25\right)\)

y) \(27y^3-1=\left(3y-1\right)\left(9y^2+3y+1\right)\)

^{ai Giúp mình với}

a: \(7\cdot3^x=5\cdot3^7+2\cdot3^7\)

\(\Leftrightarrow7\cdot3^x=7\cdot3^7\)

=>3^x=3⁷

hay x=7

b: \(4^{x+3}-3\cdot4^{x+1}=13\cdot4^{11}\)

\(\Leftrightarrow4^{x+1}\left(4^2-3\right)=13\cdot4^{11}\)

=>x+1=11

hay x=10

d: \(\left(x-1\right)^{13}=\left(x-1\right)^{12}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^{12}\left(x-2\right)=0\)

hay \(x\in\left\{1;2\right\}\)

Đề bài : Chứng minh rằng tổng lập phương của các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n bằng bình phương của tổng từ 1 đến n ( n tự nhiên ). Hay ta cần chứng minh : \(1^3+2^3+3^3+4^3+....+n^3=\left(1+2+....+n\right)^2\) (*)

Lời giải : 

+) Xét \(n=1\) thì ta có : \(1^3=1^2\) ( đúng ) 

Suy ra (*) đúng với \(n=1\) (1)

+) Xét \(n=2\) ta có : \(1^3+2^3=1+8=9\); \(\left(1+2\right)^2=3^2=9\)

\(\Rightarrow1^3+2^3=\left(1+2\right)^2\) ( đúng ). Nên (*) đúng với \(n=2\) (2)

+) Giả sử (*) đúng với \(n=k\). Tức là : \(1^3+2^3+3^3+....+k^3=\left(1+2+...+k\right)^2\).

Ta cần chứng minh \(n=k+1\) cũng đúng với (*). Thật vậy , ta có :

\(1^3+2^3+3^3+.....+\left(k+1\right)^3\)

\(=1^3+2^3+....+k^3+\left(k+1\right)^3\)

\(=\left(1+2+3+....+k\right)^2+\left(k+1\right)^3\)

Xét biểu thức \(\left(k+1\right)^2+2.\left(k+1\right).\left(1+2+3+....+k\right)\)

\(=\left(k+1\right)^2+2.\left(k+1\right)\cdot\frac{\left(k+1\right).k}{2}\)

\(=\left(k+1\right)^2+\left(k+1\right)^2.k=\left(k+1\right)^3\)

Do đó \(1^3+2^3+....+\left(k+1\right)^3\)

\(=\left(1+2+3+....+k\right)^2+2.\left(k+1\right)\left(1+2+....+k\right)+\left(k+1\right)^2\)

\(=\left(1+2+3+....+k+k+1\right)^2\)

Vậy (*) đúng với \(n=k+1\) (3)

Từ (1) (2) và (3) suy ra \(1^3+2^3+3^3+4^3+....+n^3=\left(1+2+....+n\right)^2\) với mọi \(n\in N\).

câu 2 A=

2(1+2+2^2+2^3+2^4)+2^6(1+2+2^2+2^3+2^4)+........+2^96(1+2+2^2+2^3+2^4)

suy ra 2.31+2^6.31+.......+2^96.31=A

suy ra A chia hết cho 31

câu 1

A=(1-5-9+13)+(17-21-25+29)+........+(2001-2005-2009+2013)+2017

=0+0+0+0+.......+0+2017

=2017