n³-19n=n³-n-18n=(n²-1)n-18n=(n-1)n(n+1)-18n

trong 3 số tự nhiên liên tiếp sẽ có 1 số chia hết cho 3

=>(n-1)n(n+1) chia hết cho 3

trong 3 số tự nhiên liên tiếp sẽ có ít nhất 1 số chia hết cho 2

=>(n-1)n(n+1) chia hết cho 2

vì (2;3)=1=>(n-1)n(n+1) chia hết cho 6

=>(n-1)n(n+1)=6k

=>(n-1)n(n+1)-18n=6k-18n=6(k-3n) chia hết cho 6

=>n³-19n chia hết cho 6

=>đpcm

 A = n³-19n = n³-n - 18n = n(n²-1) - 18n = n(n-1)(n+1) - 18n 
n(n-1)(n+1) là 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3, ngoài ra ít nhất 1 số chẳn nên chia hết cho 2 => n(n-1)(n+1) chia hết cho 6, 18n chia hết cho 6 
=> A chia hết cho 6 

\(n^4-1=\left(n^2\right)^2-1^2=\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

n lẻ  

=> n - 1 và n + 1 chẵn

Tích của 2 số chẵn liên tiếp sẽ chia hết cho 8

=> Biểu thức trên chia hết cho 8 với mọi n lẻ (đpcm)

ai giải giúp mình bài 2 và bài 3 với

a. \(n^3-19n=n^3-n-18n=\left(n^2+1\right)n-18n=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)-18n\)

Trong ba số tự nhiên liên tiếp sẽ có 1 số chia hết cho 3

\(\Rightarrow\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) chia hết cho 3

Trong 3 số tự nhiên sẽ có ít nhất 1 số chia hết cho 2

\(\Rightarrow\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) chia hết cho 2

Vì ( 2; 3 ) = 1 \(\Rightarrow\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) chia hết cho 6

\(\Rightarrow\left(n-1\right)n\left(n+1\right)=6k\)

\(\Rightarrow\left(n-1\right)n\left(n+1\right)-18n=6\left(k-3n\right)\) chia hết cho 6

\(\Rightarrow n^3-19n\) chia hết cho 6 ( đpcm )

b. Đặt \(B=n^4-10n^2+9=\left(n^4-n^2\right)\left(n^2-9\right)=\left(n-3\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)\)

Vì n lẻ nên n = 2k +1 \(\left(k\in Z\right)\) thì:

\(B=\left(2k-2\right)2k\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)=16\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\Rightarrow B⋮16\)

Và ( k -1 ). k. ( k +1).(k+2) là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên B có chứa bọi của 2, 3, 4 => B là bội của 24 hay B chia hết cho 24 (2)

Từ (1) và (2)=>A chia hết cho 16.24=384 (đpcm)

Bài 2 gọi hai số chẵn đó là 2a và 2a+2
ta có 2a(2a+2)=4a^2+4a=4a(a+1)
vì a và a+1 là hai số liên tiếp nên trong hai số này sẽ có ,ột số chia hết cho 2
Suy ra 4a(a+1)chia hết cho 8
Bài 3 n^3-3n^2-n+3=n^2(n-3)-(n-3) 
                            =(n-3)(n^2-1)
                            =(n-3)(n-1)(n+1)

Do n lẻ nên ta thay n=2k+1ta được (2k-2)2k(2k+2)=2(k-1)2k2(k+1)
                                                                         =8(k-1)k(k+1)

vì k-1,k,k+1laf ba số nguyên liên tiếp mà tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6
8.6=48 Vậy n^3-3n^2-n+3 chia hết cho 8 với n lẻ

Bài 4 n^5-5n^3+4n=n(n^4-5n^2+4)=n(n^1-1)(n^2-4)
                           =n(n+1)(n-1)(n-2)(n+2)là tích của 5 số nguyên liên tiếp 
Trong 5 số nguyên liên tiếp có ít nhất hai số là bội của 2 trong đó có một số là bội của 4
một bội của 3 một bội của 5 do đó tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2.3.4.5=120

\(n\left(n+5\right)-\left(n-3\right)\left(n+2\right)\)

\(=n^2+5n-\left(n^2+2n-3n-6\right)\)

\(=n^2+5n-n^2-2n+3n+6\)

\(=6n+6=6\left(n+1\right)\)

Vậy \(n\left(n+5\right)-\left(n-3\right)\left(n+2\right)⋮6\)\(\forall n\in Z\).

thay các số bắt đầu từ 1 vào r tính sau cứ như thế vd lấy 1 số cao như 1000 chẳng hạn

chia hết cái con khỉ

5³ chia hết cho 6 à ???????????

nhầm, n³ - 19n

Có: \(n^4+2n^3-n^2-2n=n^2\left(n^2+2n\right)-\left(n^2+2n\right)\)

\(=\left(n^2-1\right)\left(n^2+2n\right)=\left(n^2-1^2\right)n\left(n+2\right)\)

\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)n\left(n+2\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Mà \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)là 4 số nguyên liên tiếp

\(\Rightarrow\)trong đó có một số chia hết cho 2, có ít nhất một số chia hết cho 3, có ít nhất một số chia hết cho 4

\(\Rightarrow\)\(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)chia hết cho \(2\times3\times4\)

\(\Rightarrow\)\(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)chia hết cho 24

vậy, \(n^4+2n^3-n^2-2n\)chia hết cho 24

\(\left(n+3\right)^2-\left(n-1\right)=n^2.3^2-n+1=n^2.9-n+1\) luôn chia hết cho 8