\(mx^2+\left(m+1\right)x-2m\le0\) (1)

Nếu \(m=0\) thì dễ thấy (1) có nghiệm \(x\le0\)

Xét \(m\ne0\) Khi đó (1) là bất phương trình bậc hai với a=m. 

Ngoài ra, biệt thức

\(\Delta=9m^2+2m+1=\left(3m+\frac{1}{3}\right)^2+\frac{8}{9}>0\)  \(\curlyvee m\in R\). Từ đó ta có ngay kết luận :

- Khi m < 0, bất phương trình (1) có tập nghiệm

T(1) = \(\left(x;\frac{-m-1+\sqrt{9m^2+2m+1}}{2m}\right)\)\(\cup\)\(\left(\frac{-m-1-\sqrt{9m^2+2m+1}}{2m};+\infty\right)\)

- Khi m = 0, bất phương trình (1) có tập nghiệm T(1) =R+

- Khi m>0, bất phương trình (1) có tập nghiệm

T(1)=\(\left(\frac{-m-1-\sqrt{9m^2+2m+1}}{2m};\frac{-m-1+\sqrt{9m^2+2m+1}}{2m}\right)\)

\(\begin{cases}\left(x^2-1\right)\left(x-2\right)\ge0\\x^2-\left(3a+1\right)x+a\left(2a+1\right)\le0\end{cases}\)  (1)

Xét các bất phương trình thành phần

\(\left(x^2-1\right)\left(x-2\right)\ge0\)  (a)

\(x^2-\left(3a+1\right)x+a\left(2a+1\right)\le0\)  (b)

Ta có T(1)=T(a)\(\cap\) T(b)

Lập bảng xét dấy 

\(f\left(x\right)=\left(x^2-1\right)\left(x-2\right)\)

Từ bảng xét dấu ta được T(a) = \(\left[-1;1\right]\cup\left[2;+\infty\right]\)

Từ : \(x^2-\left(3a+1\right)x+a\left(2a+1\right)\) ta có các nghiệm x= a; x=2a+1

- Nếu \(a\le2a+1\Leftrightarrow a\ge-1\) thì T(b) = \(\left[a;2a+1\right]\)

Xét các trường hợp sau :

         + Trường hợp 1 :

 \(\begin{cases}-1\le a\le1\\-1\le2a+1\le1\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\)  \(\begin{cases}-1\le a\le1\\0\le a\le0\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(-1\le a\le0\)

Ta có T(a)\(\cap\) T(b)= \(\left[a;2a+1\right]\)

          + Trường hợp 2 

 \(\begin{cases}-1\le a\le1\\1<2a+1<2\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\)  \(\begin{cases}-1\le a\le1\\a\in\left\{0;\frac{1}{2}\right\}\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(-1\le a\le0\)

Ta có T(a)\(\cap\) T(b)= \(\left[a;1\right]\)

    + Trường hợp 3 

 \(\begin{cases}-1\le a\le1\\2\le2a+1\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\)  \(\begin{cases}-1\le a\le1\\\frac{1}{2}\le a\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\frac{1}{2}\le a\le1\)

Ta có T(a)\(\cap\) T(b)= \(\left[a;1\right]\cup\left[2;2a+1\right]\)

   + Trường hợp 4

   1<a<2 suy ra 2a+1>3>2. Khi đó ta có Ta có T(a)\(\cap\) T(b)= \(\left[2;2a+1\right]\)

   + Trường hợp 5 :

   a\(\ge\)2 suy ra 2a+1 \(\ge\) a \(\ge\) 2. Khi đó T(a)\(\cap\) T(b)= \(\left[a;2a+1\right]\)

- Nếu 2a+1<a \(\Leftrightarrow\) a<-1 thì T(b) = \(\left[a;2a+1\right]\)

Khi đó ta có T(a)\(\cap\) T(b) = \(\varnothing\) nên (1) vô nghiệm

Từ đó ta kết luận :

+ Khi a<-1 hệ vô nghiệm T(1) =\(\varnothing\)

+  Khi \(-1\le a\le0\) hoặc \(a\ge2\) hệ có tập nghiệm T (1) = \(\left[a;2a+1\right]\)

+ Khi 0<a<\(\frac{1}{2}\)  hệ có tập nghiệm T(1) = \(\left[a;1\right]\)

+ Khi \(\frac{1}{2}\)\(\le\)a \(\le\)1 hệ có tập nghiệm T(1) = \(\left[a;1\right]\cup\left[2;2a+1\right]\)

+ Khi 1<a<2, hệ có tập nghiệm T(1) =\(\left[2;2a+1\right]\)

Điều kiện xác định \(x\ge0\).
Do \(\sqrt{x}\ge0\) với mọi \(x\ge0\) nên BPT có nghiệm khi:
\(m-1\le0\Leftrightarrow m\le1\).
vậy ta có các trường hợp sau:
- Nếu \(m\le1\) bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\ge0\).
- Nếu \(m>1\) bất phương trình vô nghiệm.

Câu 1:

\(a=3>0\)

\(\Delta'=\left(m+5\right)^2-3\left(-m^2+2m+8\right)=\left(2m+1\right)^2\)

TH1: \(\Delta'=0\Rightarrow m=-\frac{1}{2}\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0\\x_1\le-1< 1\le x_2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne\frac{1}{2}\\f\left(-1\right)\le0\\f\left(1\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne\frac{1}{2}\\-m^2+4m+21\le0\\-m^2+1\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne\frac{1}{2}\\\left[{}\begin{matrix}m\le-3\\m\ge7\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}m\le-1\\m\ge1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le-3\\m\ge7\end{matrix}\right.\)

Câu 2:

- Với \(m=-1\Rightarrow6x+6< 0\Rightarrow x< -1\)

- Với \(m\ne-1\)

\(\Delta'=\left(2m-1\right)^2+\left(m+1\right)\left(4m-2\right)=8m^2-2m-1\)

TH1: \(m>-1\)

+ Nếu \(\Delta\le0\Leftrightarrow-\frac{1}{4}\le m\le\frac{1}{2}\Rightarrow\) BPT vô nghiệm

+ Nếu \(\Delta>0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-1< m< -\frac{1}{4}\\m>\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

BPT có nghiệm: \(\frac{2m-1-\sqrt{\Delta}}{m+1}< x< \frac{2m-1+\sqrt{\Delta}}{m+1}\)

TH2: \(m< -1\)

\(\Rightarrow\Delta=8m^2-2m-1>0\)

\(\Rightarrow\) BPT có nghiệm: \(\left[{}\begin{matrix}x>\frac{2m-1-\sqrt{\Delta}}{m+1}\\x< \frac{2m+1+\sqrt{\Delta}}{m+1}\end{matrix}\right.\)

a)

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2\ge\dfrac{1}{4}\left(1\right)\\x^2-x\le0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)x^2-0,25\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le-\dfrac{1}{2}\\x\ge\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

(2)\(x^2-x\le\) \(\Leftrightarrow0\le x\le1\)

Kết hợp (1) và (2) \(\Rightarrow\dfrac{1}{2}\le x\le1\)

b)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(2x+3\right)>0\left(1\right)\\\left(x-4\right)\left(x+\dfrac{1}{4}\right)\le0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Giải: \(\left(1\right)\left(x-1\right)\left(2x+3\right)>0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x< -\dfrac{3}{2}\\x>1\end{matrix}\right.\)

Giải: (2) \(\left(x-4\right)\left(x+\dfrac{1}{4}\right)< 0\Leftrightarrow-\dfrac{1}{4}\le x\le4\)

Kết hợp điều kiện của (1) và (2) ta có:  (1;4] là nghiệm của hệ bất phương trình.

\(\Delta=\left(a+3\right)^2-32=a^2+6a-23\)

- Với \(\Delta< 0\Leftrightarrow-3-4\sqrt{2}< a< -3+4\sqrt{2}\) BPT vô nghiệm

- Với \(\Delta\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a\le-3-4\sqrt{2}\\a\ge-3+4\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) BPT có nghiệm

\(\frac{a+3-\sqrt{a^2+6a-23}}{2}\le x\le\frac{a+3+\sqrt{a^2+6a-23}}{2}\)

\(\sqrt{2x^2+3}\)  <   \(x-a\) (1)

\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x-a\ge0\\2x^2+3\ge0\\2x^2+3<\left(x-a\right)^2\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x\in\left(a;+\infty\right)\\f\left(x\right):=x^2+2ax+3-a^2<0\end{cases}\)  (a)

\(x\in\left(a;+\infty\right)\) := (*)

Hiển nhiên T(1) = T(a) \(\cap\) (*). Xét bất phương trình (a) có

\(\Delta=2a^2-3\) ; \(\frac{s}{2}-a=-2a\) và \(1.f\left(a\right)=2a^2+3>0\) với mọi a \(\in R\)

- Nếu \(\left|a\right|\le\frac{\sqrt{6}}{2}\) thì \(\Delta\le0\) suy ra (a) vô nghiệm nên (1) vô nghiệm

- Nếu \(\left|a\right|>\frac{\sqrt{6}}{2}\) thì \(\Delta>0\)  nên bất phương trình (a) có tập nghiệm

  T(a) = (\(x_1;x_2\)) với \(x_1=-a-\sqrt{2a^2-3}\); \(x_2=-a+\sqrt{2a^2-3}\)

- Nếu \(\left|a\right|>\frac{\sqrt{6}}{2}\) thì \(\frac{s}{2}-a>0\) nên ta có a<\(x_1\)\(\le\) \(x_2\)

Khi đó T(1) = T(a) \(\cap\) (*)=\(\varnothing\) hay (1) vô nghiệm

- Nếu \(\left|a\right|<\frac{\sqrt{6}}{2}\) thì \(\frac{s}{2}-a>0\) nên ta có a<\(x_1\)\(\le\) \(x_2\)

Khi đó T(1) = T(a) \(\cap\) (*)=T(a). Từ đó kết luận :

   + Với \(a\ge-\frac{\sqrt{6}}{2}\)  thì bất phương trình đã cho vô nghiệm

   + Với \(a<-\frac{\sqrt{6}}{2}\)  thì bất phương trình đã cho có nghiệm

\(-a-\sqrt{2a^2-3}\) <x<\(-a+\sqrt{2a^2-3}\)