\(\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}=\frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)-c^2}=\frac{a^2}{-c\left(a-b\right)-c^2}=\frac{a^2}{-c\left(a-b+c\right)}=\frac{a^2}{2bc}\)

Tương tự \(\Rightarrow P=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\)

Mặt khác khi \(a+b+c=0\) dễ dàng chứng minh \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Rightarrow P=\frac{3}{2}\)

Chebyshev, Vasc là cái gì vậy ._. lớp 9 học cái đó rồi á ._.

ahihi tui nhìn nhầm cách đó sai rồi cho qua đi :))

Ta có \(\frac{a^2+\left(a-c\right)^2}{b^2+\left(b-c\right)^2}=\frac{a^2+c^2+2ab-2ac-2bc+\left(a-c\right)^2}{b^2+c^2+2ab-2ac-2bc+\left(b-c\right)^2}\)

\(=\frac{\left(a-c\right)^2+2b\left(a-c\right)+\left(a-c\right)^2}{\left(b-c\right)^2+2a\left(b-c\right)+\left(b-c\right)^2}=\frac{\left(a-c\right)\left(a-c+2b+a-c\right)}{\left(b-c\right)\left(b-c+2a+b-c\right)}=\frac{\left(a-c\right)\left(2a+2b-2c\right)}{\left(b-c\right)\left(2a+2b-2c\right)}=\frac{a-c}{b-c}\)

⇒điều phải chứng minh

a) \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

(Luôn đúng)

Vậy ta có đpcm.

Đẳng thức khi \(a=b=c\)

b) \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2b+1+a^2-2a+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(a-1\right)^2\ge0\)

(Luôn đúng)

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức khi \(a=b=1\)

Các bài tiếp theo tương tự :v

g) \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)=a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\ge6\sqrt[6]{a^2.a^2b^2.b^2.b^2c^2.c^2.c^2a^2}=6abc\)

i) \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}}=\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\)

Tương tự: \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{\sqrt{bc}};\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ca}}\)

Cộng vế theo vế rồi rút gọn cho 2, ta được đpcm

j) Tương tự bài i), áp dụng Cauchy, cộng vế theo vế rồi rút gọn được đpcm

Với \(a^2+b^2+c^2=1\), ta có: \(\Sigma\sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}=\Sigma\sqrt{\frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2+ab-c^2}}\)

\(=\Sigma\sqrt{\frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+ab}}=\Sigma\frac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(ab+2c^2\right)\left(a^2+b^2+ab\right)}}\)

\(\ge\Sigma\frac{ab+2c^2}{\frac{\left(ab+2c^2\right)+\left(a^2+b^2+ab\right)}{2}}=\Sigma\frac{ab+2c^2}{\frac{\left(a^2+b^2\right)+2ab+2c^2}{2}}\)

\(\ge\text{​​}\Sigma\text{​​}\frac{ab+2c^2}{\frac{\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+b^2\right)+2c^2}{2}}=\Sigma\frac{ab+2c^2}{\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}}\)

\(=\Sigma\left(ab+2c^2\right)=2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca\)

\(=2+ab+bc+ca\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)