Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(t=-x\Rightarrow dx=-dt\)
\(I=\int\limits^{-2}_2\frac{t^{2018}}{e^{-t}+1}\left(-dt\right)=\int\limits^2_{-2}\frac{e^t.t^{2018}}{e^t+1}dt=\int\limits^2_{-2}\frac{e^x.x^{2018}}{e^x+1}dx\)
\(\Rightarrow I+I=\int\limits^2_{-2}\frac{x^{2018}+e^x.x^{2018}}{e^x+1}dx=\int\limits^2_{-2}x^{2018}dx=\frac{2.2^{2019}}{2019}\)
\(\Rightarrow I=\frac{2^{2019}}{2019}\)
Lời giải:
Với PT bậc 2, nếu \(z_1\) là một nghiệm phức thì nghiệm \(z_2\) còn lại chính là số phức liên hợp của \(z_1\). Khi đó áp dụng hệ thức Viete:
\(\left[{}\begin{matrix}W=\dfrac{z_1+2016^{2017}}{z_2+1}=\dfrac{z_1+z_1z_2}{z_2+1}=z_1\\W=\dfrac{z_2+2016^{2017}}{z_1+1}=\dfrac{z_2+z_1z_2}{z_1+1}=z_2\end{matrix}\right.\)
Vì \(z_1,z_2\) là hai số liên hợp của nhau nên có phần thực như nhau. Do đó phần thực của \(W\) chính bằng \(\frac{z_1+z_2}{2}=1\) (theo hệ thức Viete)
Đáp án B
Câu 1:
Để ý rằng \((2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=1\) nên nếu đặt
\(\sqrt{2+\sqrt{3}}=a\Rightarrow \sqrt{2-\sqrt{3}}=\frac{1}{a}\)
PT đã cho tương đương với:
\(ma^x+\frac{1}{a^x}=4\)
\(\Leftrightarrow ma^{2x}-4a^x+1=0\) (*)
Để pt có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thì pt trên phải có dạng pt bậc 2, tức m khác 0
\(\Delta'=4-m>0\Leftrightarrow m< 4\)
Áp dụng hệ thức Viete, với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của pt (*)
\(\left\{\begin{matrix} a^{x_1}+a^{x_2}=\frac{4}{m}\\ a^{x_1}.a^{x_2}=\frac{1}{m}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{x_2}(a^{x_1-x_2}+1)=\frac{4}{m}\\ a^{x_1+x_2}=\frac{1}{m}(1)\end{matrix}\right.\)
Thay \(x_1-x_2=\log_{2+\sqrt{3}}3=\log_{a^2}3\) :
\(\Rightarrow a^{x_2}(a^{\log_{a^2}3}+1)=\frac{4}{m}\)
\(\Leftrightarrow a^{x_2}(\sqrt{3}+1)=\frac{4}{m}\Rightarrow a^{x_2}=\frac{4}{m(\sqrt{3}+1)}\) (2)
\(a^{x_1}=a^{\log_{a^2}3+x_2}=a^{x_2}.a^{\log_{a^2}3}=a^{x_2}.\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow a^{x_1}=\frac{4\sqrt{3}}{m(\sqrt{3}+1)}\) (3)
Từ \((1),(2),(3)\Rightarrow \frac{4}{m(\sqrt{3}+1)}.\frac{4\sqrt{3}}{m(\sqrt{3}+1)}=\frac{1}{m}\)
\(\Leftrightarrow \frac{16\sqrt{3}}{m^2(\sqrt{3}+1)^2}=\frac{1}{m}\)
\(\Leftrightarrow m=\frac{16\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+1)^2}=-24+16\sqrt{3}\) (thỏa mãn)
Câu 2:
Nếu \(1> x>0\)
\(2017^{x^3}>2017^0\Leftrightarrow 2017^{x^3}>1\)
\(0< x< 1\Rightarrow \frac{1}{x^5}>1\)
\(\Rightarrow 2017^{\frac{1}{x^5}}> 2017^1\Leftrightarrow 2017^{\frac{1}{x^5}}>2017\)
\(\Rightarrow 2017^{x^3}+2017^{\frac{1}{x^5}}> 1+2017=2018\) (đpcm)
Nếu \(x>1\)
\(2017^{x^3}> 2017^{1}\Leftrightarrow 2017^{x^3}>2017 \)
\(\frac{1}{x^5}>0\Rightarrow 2017^{\frac{1}{x^5}}>2017^0\Leftrightarrow 2017^{\frac{1}{5}}>1\)
\(\Rightarrow 2017^{x^3}+2017^{\frac{1}{x^5}}>2018\) (đpcm)
Tính \(I=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{cos^{2017}x}{sin^{2017}x+cos^{2017}}dx\left(1\right)\)
Đặt \(t=cosx\Rightarrow sinx=\sqrt{1-cos^2x}\)
\(\Rightarrow dt=-sinx.dx\)
\(\Rightarrow I=\int_0^1\dfrac{t^{2017}.}{\sqrt{1-t^2}.\left(\left(\sqrt{1-t^2}\right)^{2017}+t^{2017}\right)}dt\)
Đặt: \(t=siny\Rightarrow\sqrt{1-t^2}=cosy\)
\(\Rightarrow dt=cosy.dy\)
\(\Rightarrow I=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{sin^{2017}y.cosy}{cosy\left(cos^{2017}y+sin^{2017}y\right)}dy=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{sin^{2017}y}{\left(cos^{2017}y+sin^{2017}y\right)}\)
\(\Rightarrow I=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{sin^{2017}x}{\left(cos^{2017}x+sin^{2017}x\right)}\left(2\right)\)
Cộng (1) và (2) ta được
\(2I=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{sin^{2017}x+cos^{2017}x}{sin^{2017}x+cos^{2017}x}dx=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}1dx\)
\(=x|^{\dfrac{\pi}{2}}_0=\dfrac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{\pi}{4}\)
Thế lại bài toán ta được
\(\dfrac{\pi}{4}+t^2-6t+9-\dfrac{\pi}{4}=0\)
\(\Leftrightarrow t^2-6t+9=0\)
\(\Leftrightarrow t=3\)
Chọn đáp án C
mỗi trắc nghiệm thoy mà lm dài ntn s @@
chắc lên đó khó lắm ag
1.a/ \(\left\{{}\begin{matrix}3^{x+1}>0\\5^{x^2}>0\end{matrix}\right.\) \(\forall x\) \(\Rightarrow\) pt vô nghiệm
b/ Mình làm câu b, câu c bạn tự làm tương tự, 3 câu này cùng dạng
Lấy ln hai vế:
\(ln\left(3^{x^2-2}.4^{\dfrac{2x-3}{x}}\right)=ln18\Leftrightarrow ln3^{x^2-2}+ln4^{\dfrac{2x-3}{x}}-ln18=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2\right)ln3+\dfrac{2x-3}{x}2ln2-ln\left(2.3^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^3ln3-2x.ln3+4x.ln2-6ln2-x.ln2-2x.ln3=0\)
\(\Leftrightarrow x^3ln3-4x.ln3+3x.ln2-6ln2=0\)
\(\Leftrightarrow x.ln3\left(x^2-4\right)+3ln2\left(x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2ln3+2x.ln3+3ln2\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2=0\Rightarrow x=2\\x^2ln3+2x.ln3+3ln2=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Xét (1): \(\left(x^2+2x\right)ln3=-3ln2\Leftrightarrow x^2+2x=\dfrac{-3ln2}{ln3}=-3log_32\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=1-3log_32=log_33-log_38=log_3\dfrac{3}{8}< 0\)
\(\Rightarrow\left(1\right)\) vô nghiệm
\(\Rightarrow\) pt có nghiệm duy nhất \(x=2\)
2/ Pt đã cho tương đương:
\(2017^{sin^2x}-2017^{cos^2x}=cos^2x-sin^2x\)
\(\Leftrightarrow2017^{sin^2x}+sin^2x=2017^{cos^2x}+cos^2x\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=2017^t+t\) (\(0\le t\le1\))
\(\Rightarrow f'\left(t\right)=2017^t.ln2017+1>0\) \(\forall t\) \(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến
\(\Rightarrow f\left(t_1\right)=f\left(t_2\right)\Leftrightarrow t_1=t_2\)
\(\Rightarrow sin^2x=cos^2x\Rightarrow cos^2x-sin^2x=0\Rightarrow cos2x=0\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\)
Thế k=0; k=1 ta được 2 nghiệm thuộc đoạn đã cho là \(x=\dfrac{\pi}{4};x=\dfrac{3\pi}{4}\)
\(\Rightarrow\) tổng nghiệm là \(T=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{3\pi}{4}=\pi\)
Câu 1:
Lấy logarit cơ số tự nhiên 2 vế:
\(x.lny+e^y.x\ge y.lnx+y.e^x\)
\(\Leftrightarrow\frac{lny+e^y}{y}\ge\frac{lnx+e^x}{x}\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=\frac{lnt+e^t}{t}\) với \(t>1\)
\(f'\left(t\right)=\frac{\left(e^t+\frac{1}{t}\right).t-lnt-e^t}{t^2}=\frac{t.e^t+1-e^t-lnt}{t^2}\)
Xét \(g\left(t\right)=t.e^t+1-e^t-lnt\Rightarrow g'\left(t\right)=e^t+t.e^t-e^t-\frac{1}{t}\)
\(g'\left(t\right)=t.e^t-\frac{1}{t}=\frac{t^2.e^t-1}{t}>0\) \(\forall t>1\)
\(\Rightarrow g\left(t\right)\) đồng biến \(\Rightarrow g\left(t\right)>g\left(1\right)=1>0\) \(\forall t>1\)
\(\Rightarrow f'\left(t\right)=\frac{g\left(t\right)}{t^2}>0\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến
\(\Rightarrow f\left(t_1\right)\ge f\left(t_2\right)\Leftrightarrow t_1\ge t_2\)
\(\Rightarrow f\left(y\right)\ge f\left(x\right)\Leftrightarrow y\ge x\) \(\Rightarrow log_xy\ge1>0\)
\(P=log_x\left(xy\right)^{\frac{1}{2}}+log_yx=\frac{1}{2}\left(1+log_xy\right)+\frac{1}{log_xy}\)
\(P=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}log_xy+\frac{1}{log_xy}\ge\frac{1}{2}+2\sqrt{\frac{log_xy}{2log_xy}}=\frac{1}{2}+\sqrt{2}\)
\(f'\left(x\right)=\frac{1}{x-1}\Rightarrow\int f'\left(x\right)dx=\int\frac{1}{x-1}dx\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=ln\left|x-1\right|+C\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}ln\left|x-1\right|+C_1\left(x>1\right)\\ln\left|x-1\right|+C_2\left(x< 1\right)\end{matrix}\right.\)
\(f\left(0\right)=2018\Leftrightarrow2018=ln\left|0-1\right|+C_2\Rightarrow C_2=2018\)
\(f\left(2\right)=2019\Rightarrow2019=ln\left|2-1\right|+C_1\Rightarrow C_1=2019\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}ln\left|x-1\right|+2019\left(x>1\right)\\ln\left|x-1\right|+2018\left(x< 1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(3\right)=2019+ln2\\f\left(-1\right)=2018+ln2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow S=1\)
