\(\dfrac{3^{10}}{83}=\dfrac{\left(3^4\right)^{10}}{83}=\dfrac{81^{10}}{83}=\dfrac{\left(83-2\right)^{10}}{83}=k-\dfrac{2^{10}}{83}\)

=\(k-\dfrac{1024}{83}=k-\dfrac{\left(996+28\right)}{83}=k-12-\dfrac{28}{83}\\ \)

\(K\in Z\): phần dư: 83-28=55

m​ình lộn câu 2 là 10\(a^2+5b^2+12ab+4â-6b+13>=0\) 0 dấu = xảy ra khi nào

\(\sqrt{13-4\sqrt{3}}-\sqrt{37-20\sqrt{3}}\)

\(=\sqrt{12-4\sqrt{3}+1}-\sqrt{25-20\sqrt{3}+12}\)

\(=\sqrt{\left(2\sqrt{3}-1\right)^2}-\sqrt{\left(5-2\sqrt{3}\right)^2}\)

\(=\left|2\sqrt{3}-1\right|-\left|5-2\sqrt{3}\right|\)

\(=2\sqrt{3}-1-5+2\sqrt{3}\)

\(=4\sqrt{3}-6\)

Mình cần chứng minh: x + 19; 2x + 10; 3x + 13; 4x + 37 là số chính phương 

Thật vậy: Đặt x + 19 = a² ; 4x + 37 = b² (g/s a; b \(\ge\)0)

=> \(4a^2-b^2=39\)

<=> (2a + b ).(2a - b) = 3.13 = 1.39

Vì 2a + b > 2a - b. Nên ta có các trường hợp sau

+) 3a + b = 13; 2a - b = 3 => 2a = 8; b = 5 => a = 4; b = 5 => x = - 3

Thay vào ta có \(\sqrt{x+19},\sqrt{2x+10},\sqrt{3x+13},\sqrt{4x+37}\)là các số nguyên 

=> x = - 3 thỏa mãn

+) 3a + b = 39; 2a - b = 1 => 2a = 20; b = 19 => a = 10; b = 19 => x = 81

Thay vào ta có \(\sqrt{2x+10}\)không là số nguyên 

=> x = 81 loại