Theo đề, ta có: \(S_n=3003\)

=>\(n\cdot\dfrac{\left[2u1+\left(n-1\right)\cdot d\right]}{2}=3003\)

=>\(\dfrac{n\left[2+\left(n-1\right)\right]}{2}=3003\)

=>n(n+1)=6006

=>n^2+n-6006=0

=>(n-77)(n+78)=0

=>n=77(nhận) hoặc n=-78(loại)

Vậy: n=77

Gọi số hạng đầu và công sai của cấp số cộng lần lượt là: u1 và d.
Ta có:
{u1+2u5=0S4=14⇔{u1+2.(u1+4d)=0[2u1+3d].42=14⇔{3u1+8d=02u1+3d=7⇔{u1=8d=−3.

b) Gọi số hạng đầu và công sai của cấp số cộng làn lượt là \(u_1\) d. Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+3d=10\\u_1+6d=19\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\d=3\end{matrix}\right.\).
c) Gọi số hạng đầu và công sai của cấp số cộng lần lượt là \(u_1\) và d. Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_1+4d-u_1-2d=10\\u_1+u_1+5d=7\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+2d=10\\2u_1+5d=7\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=36\\d=-13\end{matrix}\right.\).
d) Gọi số hạng đầu và công sai của cấp số cộng lần lượt là \(u_1\) và d. Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+6d-\left(u_1+2d\right)=8\\\left(u_1+d\right)\left(u_1+6d\right)=75\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4d=8\\\left(u_1+d\right)\left(u_1+6d\right)=75\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=2\\\left(u_1+2\right)\left(u_1+12\right)=75\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=2\\u^2_1+14u_1-51=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=\\\left[{}\begin{matrix}u_1=3\\u_1=-17\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Vậy có hai cấp số cộng thỏa mãn là: \(\left\{{}\begin{matrix}d=2\\u_1=3\end{matrix}\right.\) và \(\left\{{}\begin{matrix}d=2\\u_1=-17\end{matrix}\right.\).

a) Từ hệ thức đã cho ta có:

hay

.Giải hệ này tìm u₁ và d. Đáp số u₁ = 16, d = -3.

b) Từ hệ đã cho ta có:

hay

Giải hệ này để tìm u₁ và d. Đáp số u₁ = 3 và d = 2 hoặc u₁ = -17 và d = 2

u₁ = 3 và d = 2 hoặc u₁ = -17 và d = 2.

S= u₁.u₁ + u₂.u₂+...+u_n.u_n 

S = u₁.(u₂ - d) + u₂.(u₃ - d)+...+u_n(u_n+1 - d)

S = u₁.u₂ + u₂.u₃ +...+u_n.u_n+1-d(u₁+u₂+...+u_n)

Đặt A = u₂.u₃ + u₃.u₄+...+u_n.u_n+1

3d.A = u₂.u₃.(u₄-u₁) + u₃.u₄.(u₅-u₂)+...+u_n.u_n+1.(u_n+2-u_n-1) 

3d.A = u₂.u₃.u₄ - u₁.u₂.u₃ + u₃.u₄.u₅ - u₂.u₃.u₄+...+u_n.u_n+1.u_n+2 - u_n-1.u_n.u_n+1

3d.A = u_n.u_n+1.u_n+2 - u₁.u₂.u₃

3d.A = (u₁ + d.n - d)(u₁ + d.n)(u₁ + d.n + d) - u₁.(u₁+d).(u₁+2.d) 

A = [(u₁ + d.n - d)(u₁ + d.n)(u₁ + d.n + d) - u₁.(u₁+d).(u₁+2.d)]/(3.d) 

S = A + u₁.(u₁ + d) + d[2.u₁+(n-1).d].n/2