C K O E H F B A D

Trên \(\Delta\) lấy điểm D sao cho à D, A nằm khác phía nhau so với B. Gọi E là giao điểm của các đường thẳng KA và OC; Gọi F là giao điểm của các đường thẳng KB và OD

Vì K là tâm đường tròn bàng tiếp góc O của tam giác OAB nên KE là phân giác của góc OAC. Mà OAC là tam giác cân tại A ( do OA = AC, theo gt) nên suy ra KE cũng là đường trung trục của OC. Do đó, E là trung điểm của OC và KC=KO

Xét tương tự đối với KF, ta cũng có F là trung điểm của OD và KD=KO

Suy ra tam giác CKD cân tại K. Do đó, hạ KH vuông góc với  \(\Delta\) , ta có H là trung điểm của CD. Như vậy :

+ A là giao của  \(\Delta\)  và đường trung trực \(d_1\) của đoạn OC (1)

+ B là giao của  \(\Delta\)  và đường trung trực \(d_2\) của đoạn OD, với D là điểm đối xứng của C qua H là hình chiếu vuông góc của K trên  \(\Delta\)  (2)

Vì \(C\in\Delta\) và có hoành độ \(x_0=\frac{24}{5}\) nên gọi \(y_0\) là tung độ của C, ta có :

\(2.\frac{24}{5}+3y_0-12=0\) suy ra \(y_0=-\frac{12}{5}\)

Từ đó, trung điểm E của OC có tọa độ là \(\left(\frac{12}{5};-\frac{6}{5}\right)\) và đường thẳng OC có phương trình \(x+2y=0\)

Suy ra phương trình của \(d_1\) là \(2x-y-6=0\)

Do đó, theo (1), tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình :

\(\begin{cases}4x+3y-12=0\\2x-y-6=0\end{cases}\)

Giải hệ ta có \(A=\left(3;0\right)\)

Để tìm tọa độ đỉnh B ta làm như sau :

Gọi d là đường thẳng đi qua K(6;6) và vuông góc với \(\Delta\).

Ta có phương trình của d là : \(3x-4y+6=0\). Từ đây, do H là giao điểm của  \(\Delta\). và d nên tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình :

\(\begin{cases}4x+3y-12=0\\3x-4y+6=0\end{cases}\)

Giải hệ trên, ta được \(H=\left(\frac{6}{5};\frac{12}{5}\right)\) suy ta \(D=\left(-\frac{12}{5};\frac{26}{5}\right)\)

Do đó, trung điểm F của OD có tọa độ là \(\left(-\frac{6}{5};\frac{18}{5}\right)\) và đường thẳng OD có phương trình \(3x+y=0\)

Suy ra phương trình của \(d_2\) là \(x-3y+12=0\)

Do đó, theo (2), tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình :

\(\begin{cases}4x+3y-12=0\\x-3y+12=0\end{cases}\)

Giải hệ trên ta được B=(0;4)

Gọi Q là mặt phẳng đi qua A và song song với (P) thì phương trình của (Q) là \(\left(x+2\right)+2\left(y+1\right)-\left(z-1\right)=0\) hay \(x+2y-z+5=0\). Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (Q). Giả sử \(\Delta\) là đường thẳng qua A và song song với

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) là : 

\(h=d_{\left(A,\left(P\right)\right)}=\frac{\left|1.2+\left(-2\right).\left(-2\right)+2.1+5\right|}{\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2+2^2}}=4\)

Gọi r là bán kính của đường tròn thiết diện thì ta có \(2\pi r=6\pi\Rightarrow r=3\)

Gọi R là bán kính mặt cầu cần tìm, ta có : \(R^2=h^2+r^2=4^2+3^2=25\)

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là : \(\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z-1\right)^2=25\)

7.

\(\left(1+i\right)z=3z-i\Leftrightarrow\left(1+i-3\right)z=-i\)

\(\Leftrightarrow\left(i-2\right)z=-i\Rightarrow z=\frac{-i}{i-2}=-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i\)

Phần ảo là \(\frac{2}{5}\)

8.

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-1=2-x\\1-2y=3y+2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-\frac{1}{5}\end{matrix}\right.\)

9.

\(\left|x-yi+2-i\right|=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2+\left(y+1\right)^2=16\)

Đường tròn tâm \(I\left(-2;-1\right)\) bán kính \(R=4\)

10.

Mặt cầu tâm \(I\left(1;2;2\right)\)

Khoảng cách: \(d\left(I;\alpha\right)=\frac{\left|1+2.2-2.2-4\right|}{\sqrt{1^2+2^2+\left(-2\right)^2}}=1\)

4.

Giao điểm d và (P) thỏa mãn:

\(1-t+2.2t-2\left(1+t\right)+2=0\Rightarrow t=-1\)

Thay vào pt d ta được tọa độ: \(\left(2;-2;0\right)\)

5.

Theo quy tắc nhân ta có \(3.4=12\) cách

6.

\(z=x+yi\Rightarrow5\left(x-yi\right)-\left(x+yi\right)\left(2-i\right)=2-6i\)

\(\Leftrightarrow3x-y-\left(7y-x\right)i=2-6i\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x-y=2\\-x+7y=6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow z=1+i\Rightarrow\left|z\right|=2\)

Mặt cầu tâm \(I\left(3;-2;1\right)\)

Mặt phẳng (P) nhận \(\left(1;2;2\right)\) là 1 vtpt

Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc (P) \(\Rightarrow\) M là giao điểm của d với mặt cầu (giao điểm nằm giữa I và H với H là giao của d và (P))

Phương trình tham số d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=3+t\\y=-2+2t\\z=1+2t\end{matrix}\right.\)

H là giao d và (P) nên tọa độ thỏa mãn:

\(3+t+2\left(-2+2t\right)+2\left(1+2t\right)+11=0\Rightarrow t=-\frac{4}{3}\) \(\Rightarrow H\left(\frac{5}{3};-\frac{14}{3};-\frac{5}{3}\right)\)

M là giao d và (S) nên tọa độ thỏa mãn:

\(\left(3+t\right)^2+\left(-2+2t\right)^2+\left(1+2t\right)^2-6\left(3+t\right)+4\left(-2+2t\right)-2\left(1+2t\right)+5=0\)

\(\Leftrightarrow9t^2-9=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\left(4;0;3\right)\\M\left(2;-4;-1\right)\end{matrix}\right.\)

M nằm giữa I và H nên \(M\left(2;-4;-1\right)\) là điểm cần tìm

Câu 2 đề thiếu rồi kìa. Cái cuối cùng là tổ hợp chập bao nhiêu của 2n + 1 thế???

1/ Vì M thuộc \(d_3\) nên ta có tọa độ của M là: \(M\left(2a;a\right)\)

Khoản cách từ M đến \(d_1\) là:

\(d\left(M,d_1\right)=\dfrac{\left|2a+a+3\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{\left|3a+3\right|}{\sqrt{2}}\)

Khoản cách từ M đến \(d_2\) là:

\(d\left(M,d_2\right)=\dfrac{\left|2a-a-4\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{\left|a-4\right|}{\sqrt{2}}\)

Theo đề bài ta có:

\(\dfrac{\left|3a+3\right|}{\sqrt{2}}=2.\dfrac{\left|a-4\right|}{\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow\left|3a+3\right|=2.\left|a-4\right|\)

\(\Leftrightarrow a^2+10a-11=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\a=-11\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\left(2;1\right)\\M\left(-22;-11\right)\end{matrix}\right.\)