Tính diện tích S của miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số  f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c , các đường thẳng x = - 1 ,   x = 2 và trục hoành (miền tô đậm) cho trong hình dưới đây

A.  S = 51 8

B.  S = 52 8

C.  S = 50 8

D.  S = 53 8

Đề thi HSG quận Đống Đa - Hà Nội vòng 2 ( một trong 2 đề khó nhất chỉ sau quận Cầu Giấy )

Câu 1:(5đ)

1. Cho \(a,b,c\) là số thực thỏa mãn:

\(ab+bc+ca=2015\). Tính giá trị biểu thức:

\(P=\frac{a}{2015+a^2}+\frac{b}{2015+b^2}+\frac{c}{2015+c^2}-\frac{4030}{2015\left(a+b+c\right)-abc}\)

2. Cho \(a,b,c\) là các số nguyên thỏa mãn:

\(a^3+b^3=5c^3\)

CMR: \(a+b+c\) chia hết cho \(6\)

3. Tìm các cặp \(\left(x;y\right)\) nguyên thỏa mãn:

\(x^2\left(y^2+1\right)+y^2+24=12xy\)

Câu 2:(5đ)

a) \(3x+\sqrt{5-x}=2\sqrt{x-3}+11\)

b) \(2x^2+4x-8=\left(2x+3\right)\sqrt{x^2-3}\)

Câu 3:(2đ)

Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn điều kiện:

\(x-\sqrt{x+1}=\sqrt{y+5}-y\)

Tìm GTLN của \(P=x+y\)

Câu 4:(6đ)

Qua \(M\) cố định ở ngoài đường tròn \(\left(O;R\right)\). Qua \(M\) kẻ các tiếp tuyến \(MA,MB\) ( \(A,B\) là các tiếp tuyến ). Qua \(P\) di động trên cung nhỏ \(AB\) ( \(P\) khác \(A;B\) ) dựng tiếp tuyến của \(\left(O\right)\) cắt \(MA,MB\) lần lượt tại \(E\) và \(F\).

a) CMR: Chu vi tam giác \(MEF\) không đổi khi \(P\) di động trên \(AB\).

b) Lấy \(N\) trên tiếp tuyến \(MA\) sao cho \(N,F\) khác phía \(AB\) và \(AN=BF\). CMR: \(AB\) đi qua trung điểm của \(NF\).

c) Kẻ đường thẳng \(d\) qua \(M\) của \(\left(O\right)\) tại \(H\) và \(K\). Xác định vị trí của \(d\) để \(MH+HK\) đạt GTNN

Câu 5:(2đ)

1. Cho \(p\)là số nguyên tố thỏa mãn \(p^2+2018\) là số nguyên tố. CMR: \(6p^2+2015\) là số nguyên tố.

2. Cho tập \(x=\left\{1;2;3...;2015\right\}\). Tô màu các phần tử \(x\)bởi \(5\) màu: xanh, đỏ, vàng, tím, nâu. CMR tồn tại \(3\) phần tử \(a,b,c\) của \(x\)sao cho \(a\) là bội của \(b\); \(b\)là bội của \(c\)

Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = x 4 + x 2 , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 1 . Biết S = a 5 + b ,   a , b ∈ ℚ . Tính a + b     

A.  a + b = - 1

B.  a + b = 1 2

C. a + b = 1 3

 D. a + b = 13 3  

Cho hàm số y = f x = a x 3 + b x 2 + c x + d   a , b , c ∈ ℝ , a ≠ 0  có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thị của hàm số y = f '(x) cho bởi hình vẽ dưới đây. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.

A. S = 9

B.  S = 5 4

C.  S = 21 4

D.  S = 27 4

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và cắt trục hoành tại điểm x = c (a<c<b) (như hình vẽ bên). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  y = f(x) trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A.  S = ∫ a c f ( x ) d x - ∫ c b f ( x ) d x

B.  S = - ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x

C.  S = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x

D.  S = ∫ a b f ( x ) d x

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên a ; b  trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b a < b cho bởi công thức:

A.  S = ∫ a b f x d x

B.  S = π ∫ a b f x d x

C.  S = π ∫ a b f 2 x d x

D.  S = ∫ a b f x d x

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích S  của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a<b) được tính theo công thức:

A.  S = ∫ a b f ( x ) d x

B.  S = b ∫ a b f ( x ) d x

C.  S = ∫ a b f ( x ) d x

D.  S = ∫ a b f ( x ) d x