Ta có: 36 đồng dư vs 1(mod 7)

=>36³⁸ đồng dư vs 1(mod 7)

41 đồng dư vs -1(mod 7)

=>41³³ đồng dư vs -1(mod 7)

=>36³⁸+41³³ đồng dư vs 1-1 đồng dư vs 0(mod 7)   (1)

Lại có: 36 đồng dư vs 3(mod 11)

=>36⁵ đồng dư vs 3⁵ đồng dư vs 1(mod 11)

=>36³⁵ đồng dư vs 1(mod 11)

=>36³⁸ đồng dư vs 36³ đồng dư vs 3³ đồng dư vs 5(mod 11)

41 đồng dư vs -3(mod 11)

=>41⁵ đồng dư vs -3⁵ đồng dư vs -1(mod 11)

=>41³⁰ đồng dư vs 1(mod 11)

=>41³³ đồng dư vs 41³ đồng dư vs -3³ đồng dư vs -5(mod 11)

=>36³⁸+41³³ đồng dư s 5-5 đồng dư vs 0(mod 11)   (2)

Từ 1 và 2 =>36³⁸+41³³ chia hết cho 11.7=77

Ta có :

\(36^{38}=\left(7.5+1\right)^{38}\) đồng dư với 1 (mod 7)

\(41^{43}=\left(7.6-1\right)^{43}\)đồng dư với - 1(mod 7)

\(\Rightarrow36^{38}+41^{43}\)đồng dư với 0 (mod 7)

Hay \(36^{38}+41^{43}\) chia hết cho 7 (1)

Ta cũng có :

\(36^{38}=\left(3.11+3\right)^{38}\) đồng dư với \(3^{38}\) (mod 11)

\(41^{43}=\left(44-3\right)^{43}\) đồng dư với \(-3^{43}\) (mod 11)

\(\Rightarrow36^{38}+41^{43}\)đồng dư với \(3^{38}-3^{43}\) (mod 11)

Ta thấy : \(3^{38}-3^{43}=3^{38}\left(1-3^5\right)=3^{38}.\left(-242\right)=3^{38}.11.\left(-22\right)⋮11\)

\(\Rightarrow36^{38}+41^{43}\) chia hết cho 11 (2)

Mà (7;11) = 1 Nên từ (1) ; (2) => \(36^{38}+41^{43}⋮77\) (đpcm)

CM A chia hết cho 7 và 11.
* 36 mod 7 = 1 nên 36³⁸ mod 7 = 1; 41 mod 7 = -1 nên 41³³ mod 7 = (-1)³³ = -1
suy ra A mod 7 = 0 hay A chia hết cho 7.
* 36 mod 11 = 3, 41 mod 11 =-3 nên A mod 11 = 3³⁸ - 3³³ =3³³ (3⁵ - 1) =3³³. 242
Vì 242 chia hết cho 11 nên A mod 11 = 0.
Vậy A chia hết cho 7.11 =77

Ta có;A = 36³⁸ + 41³³ = (36³⁸ - 1)(41³³ + 1) 

Vì 36³⁸ - 1 = (36 - 1)(36³⁷ + 36³⁶ +...+ 1) = 35(36³⁷ + 36³⁶ +...+ 1) chia hết cho 7

41³³ + 1 = (41 + 1)(41³² - 41³¹ +...+ 1) = 42(41³² - 41³¹ +...+ 1) chia hết cho 7

Do đó A chia hết cho 7 (1)

Lại có: A = 36³⁸ + 41³³ = (36³⁸ - 3³⁸)(41³³ + 3³³) + (3³⁸ - 3³³)

Vì 36³⁸ - 3³⁸ = (36 - 3)(36³⁷ + 35³⁶ +...+ 3³⁷)  = 33(36³⁷ + 35³⁶ +...+ 3³⁷) chia hết cho 11

41³³ + 3³³ = (41 + 3)(41³² - 40³² +...+ 3³²) = 44(41³² - 40³² +...+ 3³² chia hết cho 11

3³⁸ - 3³³ = 3³³(3⁵ - 1) =3³³ . 242 chia hết cho 11

Do đó A chia hết cho 11 (2)

Mà (7,11) = 1 (3)

Từ (1),(2),(3) => A chia hết cho 77

36^38+41^33 

= 36^33 . 36^5 + 41^33 

= 36^33 . 36^5 + 36^33 - 36^33 + 41^33 

= 36^33(36^5+ 1) - (36^33 - 41^33) 

= 77.Q1 - 77.Q2 

=> chia hết cho 77

Nguyễn Thị Ngọc Lan đúng