Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=\sqrt{\left(x+1\right)^4+1}+\sqrt{\left(y-2\right)^4+1}\)
Đặt \(\left(x+1;y-2\right)=\left(a;b\right)\)
\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)=\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow ab+a+b=\frac{5}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{2}+\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{5}{4}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
\(A=\sqrt{a^4+1}+\sqrt{b^4+1}\ge\sqrt{\left(a^2+b^2\right)^2+4}\ge\sqrt{\frac{1}{4}+4}=\frac{\sqrt{17}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\) hay \(\left\{{}\begin{matrix}x=-\frac{1}{2}\\y=\frac{5}{2}\end{matrix}\right.\)
Theo đề bài, ta có:
x3+y3=x2−xy+y2x3+y3=x2−xy+y2
hay (x2−xy+y2)(x+y−1)=0(x2−xy+y2)(x+y−1)=0
⇒\orbr{x2−xy+y2=0x+y=1⇒\orbr{x2−xy+y2=0x+y=1
+ Với x2−xy+y2=0⇒x=y=0⇒P=52x2−xy+y2=0⇒x=y=0⇒P=52
+ với x+y=1⇒0≤x,y≤1⇒P≤1+√12+√0+2+√11+√0=4x+y=1⇒0≤x,y≤1⇒P≤1+12+0+2+11+0=4
Dấu đẳng thức xảy ra <=> x=1;y=0 và P≥1+√02+√1+2+√01+√1=43P≥1+02+1+2+01+1=43
Dấu đẳng thức xảy ra <=> x=0;y=1
Vậy max P=4 và min P =4/3
Ta có: \(2\left(x^2+y^2\right)=1+xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2=\frac{1+xy}{2}\)
\(P=7\left(x^4+y^4\right)+4x^2y^2\)
\(=7x^4+7y^4+4x^2y^2\)
\(\Rightarrow P=28x^3+28y^3+16xy\)
\(\Leftrightarrow P=0\Leftrightarrow28x^3+28y^3+16xy=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\y=4\end{cases}}\)
\(\Rightarrow P_{Min}=15\) và \(Max_P=\frac{12}{33}\)
\(B=\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\left(1-\frac{1}{y^2}\right)=1-\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}-\frac{1}{x^2y^2}\right)=1-\frac{x^2+y^2-1}{x^2y^2}\)
\(B=1-\frac{\left(x+y\right)^2-2xy-1}{x^2y^2}=1-\frac{-2xy}{x^2y^2}=1+\frac{2}{xy}\)
Cô-si : \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow xy\le\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow B\ge1+\frac{2}{\frac{1}{4}}=9\)
Vậy B có GTNN bằng 9 khi x = y = \(\frac{1}{2}\)
\(A=\sqrt{x^4+4x^3+6x^2+4x+2}+\sqrt{y^4-8y^3+24y^2-32y+17}\)
\(=\sqrt{\left(x+1\right)^4+1}+\sqrt{\left(y-2\right)^4+1}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}x+1=u\\y-2=v\end{cases}}\Rightarrow A=\sqrt{u^4+1}+\sqrt{v^4+1}\)(với \(u,v\inℝ\))
Điều kiện đã cho ban đầu trở thành \(\left(u+1\right)\left(v+1\right)=\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow uv+u+v+1=\frac{9}{4}\Leftrightarrow uv+u+v=\frac{5}{4}\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}\left(2u-1\right)^2\ge0\forall u\inℝ\\\left(2v-1\right)^2\ge0\forall v\inℝ\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4u^2-4u+1\ge0\\4v^2-4v+1\ge0\end{cases}}\forall u,v\inℝ\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}4u^2+1\ge4u\\4v^2+1\ge4v\end{cases}}\Rightarrow u^2+v^2\ge u+v-\frac{1}{2}\forall u,v\inℝ\)(*)
và \(\left(u-v\right)^2\ge0\forall u,v\inℝ\Leftrightarrow u^2-2uv+v^2\ge0\forall u,v\inℝ\)
\(\Rightarrow u^2+v^2\ge2uv\forall u,v\inℝ\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(u^2+v^2\right)\ge uv\forall u,v\inℝ\)(**)
Cộng theo vế của (*) và (**), ta được: \(\frac{3}{2}\left(u^2+v^2\right)\ge uv+u+v-\frac{1}{2}=\frac{5}{4}-\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow u^2+v^2\ge\frac{1}{2}\)(**
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski, ta được:
\(A=\sqrt{u^4+1}+\sqrt{v^4+1}\ge\sqrt{\left(u^2+v^2\right)^2+\left(1+1\right)^2}\)
\(=\sqrt{\left(u^2+v^2\right)^2+4}\ge\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+4}=\sqrt{\frac{1}{4}+4}=\frac{\sqrt{17}}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(u=v=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2};y=\frac{5}{2}\)
Vậy GTNN của A là \(\frac{\sqrt{17}}{2}\)đạt được khi \(x=-\frac{1}{2};y=\frac{5}{2}\)
Đặt \(a=2+x;b=y-1\) thì \(ab=\frac{9}{4}\)
Thì \(\sqrt{x^4+4x^3+6x^2+4x+2}=\sqrt{a^4-4a^3+6a^2-4a+2}\)
và \(\sqrt{y^4-8y^3+24y^2-32y+17}=\sqrt{b^4-4b^3+6b^2-4b+2}\) (cái này dùng phương pháp đồng nhất hệ số là xong)
Vậy ta tìm Min \(A=\sqrt{a^4-4a^3+6a^2-4a+2}+\sqrt{b^4-4b^3+6b^2-4b+2}\)
\(=\sqrt{\left(a^4-4a^3+4a^2\right)+2\left(a^2-2a+1\right)}+\sqrt{\left(b^4-4b^3+4b^2\right)+2\left(b^2-2b+1\right)}\)
\(=\sqrt{\left(a^2-2a\right)^2+\left[\sqrt{2}\left(a-1\right)\right]^2}+\sqrt{\left(b^2-2b\right)^2+\left[\sqrt{2}\left(b-1\right)\right]^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(a^2+b^2-2a-2b\right)^2+2\left(a+b-2\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}-2\left(a+b\right)\right]^2+2\left(a+b-2\right)^2}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{t^2}{2}-2t\right)^2+2\left(t-2\right)^2}\left(t=a+b\ge2\sqrt{ab}=3\right)\)
\(=\sqrt{\frac{1}{4}\left(t-1\right)\left(t-3\right)\left(t^2-4t+5\right)+\frac{17}{4}}\ge\frac{\sqrt{17}}{2}\)
Trình bày hơi lủng củng, sr.