<=>\(\hept{\begin{cases}4x^2+2mx=2\\mx^2-x=-2\end{cases}}\)<=>\(\hept{\begin{cases}\left(4+m\right)x^2+\left(2m-1\right)x=0\\mx^2-x=-2\end{cases}}\)<=>\(\hept{\begin{cases}x\left(\left(m+4\right)x+2m-1\right)=0\\mx^2-x=-2\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}x=0\\mx^2-x=-2\end{cases}}\)(vô nghiệm) hoặc \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1-2m}{m+4}\\mx^2-x=-2\end{cases}}\)(điều kiện m\(\ne-4\)) <=>m(\(\frac{1-2m}{m+4}\))²-\(\frac{1-2m}{m+4}\)=-2 <=> m(1-2m)²-(1-2m)(m+4)=-2(m+4)² <=> 4m³-4m²+m-m+2m²-4+8m=-2m²-16m-32 <=> 4m³+24m+28=0

<=> (m+1)(4m²-4m+28)=0 <=>m+1=0 (vì 4m²-4m+28=(2m-1)²+27>0) <=> m=-1 (thỏa mãn m\(\ne-4\))

Vậy m=-1

Để phương trình thứ nhất có nghiệm thì :

 \(m^2+4.2\ge0\Leftrightarrow m^2+8\ge0\)*đúng với mọi m*

Để phương trình thứ hai có nghiệm thì :

\(1-4.2.m\ge0\Leftrightarrow1-8m\ge0\Leftrightarrow m\le\frac{1}{8}\)

Vậy với \(m\le\frac{1}{8}\)thì phương trình có nghiệm

Mình tìm được m=-1

Đặt \(x^2=y\ge0\)Khi đó hệ trở thành \(\hept{\begin{cases}mx+2y=1\\-x+my=-2\end{cases}}\)

Hệ luôn có nghiệm \(\hept{\begin{cases}x=\frac{m+4}{m^2+2}\\y=\frac{1-2m}{m^2+2}\ge0\left(m\le\frac{1}{2}\right)\end{cases}}\)

Ta có \(x^2=y\Leftrightarrow\left(\frac{m+4}{m^2+2}\right)^2=\frac{1-2m}{m^2+2}\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(m^2-m+7\right)=0\Leftrightarrow m=-1\)

a)

+) Với m = 0  thay vào phương trình ta có: 1 = 0 => loại 

+) Với m khác 0 

\(\Delta'=m^2-m=m\left(m-1\right)\)

Để phương trình có nghiệm điều kiện là: \(m\left(m-1\right)\ge0\)

TH1: m \(\ge\)0 và m - 1 \(\ge\)0 

<=> m \(\ge\) 0 và m \(\ge\)1 

<=> m \(\ge\)1 

 TH2: m \(\le\) 0 và m - 1  \(\le\)0 

<=> m \(\le\)0 và m \(\le\)1

<=> m \(\le\)0 

Đối chiếu điều kiên m khác 0

Vậy m < 0 hoặc m \(\ge\)1

+) Tính nghiệm của phương trình theo m. Tự làm áp dụng công thức

b) Gọi \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình 

Theo định lí vi ét ta có: 

\(x_1x_2=\frac{1}{m};x_1+x_2=\frac{2m}{m}=2\)

Không mất tính tổng quát ta g/s: \(x_1=2x_2\)

=> \(3x_2=2\Leftrightarrow x_2=\frac{2}{3}\)=> \(x_1=\frac{4}{3}\)

Ta có: \(\frac{4}{3}.\frac{2}{3}=\frac{1}{m}\)

<=> \(m=\frac{9}{8}\)( thỏa mãn a )

Thử lại thỏa mãn 

Vậy m = 9/8

Có : đenta = (-m)² -4(m-1) = m² -4m + 4 = (m-2)² >= 0

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có : x₁ + x₂ = m

                                                x₁.x₂ = m-1

Có:\(\frac{1}{x_{ }_{ }1}+\frac{1}{x2}=\frac{x1.x2}{2011}\)

<=> \(\frac{x1+x2}{x1.x2}=\frac{x1.x2}{2011}\)

<=> \(\frac{m}{m-1}=\frac{m-1}{2011}\)

<=> 2011m = (m-1)² 

<=> 2011m = m²-2m + 1

<=> m²-2013m + 1 =0

Giải pt ra

3.

Phương trình có 2 nghiệm khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m+1\ne0\\\Delta=m^2-12\left(m+1\right)\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-1\\\left[{}\begin{matrix}m\ge6+4\sqrt{3}\\m\le6-4\sqrt{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) (1)

Khi đó theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{m}{m+1}\\x_1x_2=\dfrac{3}{m+1}\end{matrix}\right.\)

Hai nghiệm cùng lớn hơn -1 \(\Rightarrow-1< x_1\le x_2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)>0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}>-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2+x_1+x_1+1>0\\x_1+x_2>-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{m+1}-\dfrac{m}{m+1}+1>0\\-\dfrac{m}{m+1}>-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{m+1}>0\\\dfrac{m+2}{m+1}>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\\left[{}\begin{matrix}m>-1\\m< -2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>-1\)

Kết hợp (1) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-1< m< 6-4\sqrt{3}\\m\ge6+4\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

Những bài này đều là dạng toán lớp 10, thi lớp 9 chắc chắn sẽ không gặp phải

1. Có 2 cách giải:

C1: đặt \(f\left(x\right)=x^2+2mx-3m^2\)

\(x_1< 1< x_2\Leftrightarrow1.f\left(1\right)< 0\Leftrightarrow1+2m-3m^2< 0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

C2: \(\Delta'=4m^2\ge0\) nên pt luôn có 2 nghiệm

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m\\x_1x_2=-3m^2\end{matrix}\right.\)

\(x_1< 1< x_2\Leftrightarrow\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1< 0\)

\(\Leftrightarrow-3m^2+2m+1< 0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)