Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Để BPT có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta>0\)
\(\Rightarrow\left(m+2\right)^2-4\left(3m^2+1\right)>0\)
\(\Leftrightarrow-11m^2+4m>0\Leftrightarrow0< m< \frac{4}{11}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{-x^2-2x+15}-x^2-2x+15\le a+15\)
Đặt \(\sqrt{-x^2-2x+15}=t\ge0\)
Đồng thời ta có: \(\sqrt{-x^2-2x+15}=\sqrt{\left(x+5\right)\left(3-x\right)}\le\dfrac{1}{2}\left(x+5+3-x\right)=4\)
\(\Rightarrow0\le t\le4\)
BPT trở thành: \(t^2+t\le a+15\Leftrightarrow t^2+t-15\le a\) ; \(\forall t\in\left[0;4\right]\)
\(\Leftrightarrow a\ge\max\limits_{t\in\left[0;4\right]}\left(t^2+t-15\right)\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=t^2+t-15\) trên \(\left[0;4\right]\)
\(-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2}\notin\left[0;4\right]\) ; \(f\left(0\right)=-15\) ; \(f\left(4\right)=5\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)_{max}=4\Rightarrow a\ge4\)
Ta có \(x^2-5x+4=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\ge-\frac{9}{4}\)
Đặt \(x^2-5x+4=t\Rightarrow t\ge-\frac{9}{4}\)
BPT trở thành: \(t^2-3t\le m\)
Để BPT có nghiệm \(\Rightarrow m\ge\min\limits_{t\ge-\frac{9}{4}}\left(t^2-3t\right)\)
\(-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}>-\frac{9}{4}\Rightarrow min\left(f\left(t\right)\right)=f\left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow m\ge-\frac{9}{4}\)